Во оваа лекција, истражуваме во концептот на ротација, фундаментална трансформација и во математиката и во координатната геометрија. Ротацијата се однесува на движење на фигура или точка околу фиксен центар во кружна патека. Се карактеризира со три главни фактори: центарот на ротација, аголот на ротација и насоката на ротација (во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот).
Центар на ротација: Ова е фиксна точка околу која се случува ротацијата. Може да биде точка во фигурата, надвор од неа или на едно од нејзините темиња.
Агол на ротација: Ова е мерка за ротација, во степени или радијани, што укажува на степенот на ротација. Позитивниот агол означува ротација спротивно од стрелките на часовникот, додека негативниот агол означува ротација во насока на стрелките на часовникот.
Насока на ротација: Ротациите може да се вршат во две насоки - во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот.
Во координатната геометрија, кога ротираме точка или објект, нејзината позиција се менува според одредени правила во зависност од аголот на ротација. Еве ги правилата за ротирачки точки околу почетокот (0,0) во координатната рамнина:
Вртежните точки околу кој било друг центар, \(C(h, k)\) , бара прилагодување на позициите пред и по ротацијата за да се земе предвид промената на потеклото.
Математичкото претставување на ротацијата користи матрици на ротација. Матрицата на ротација може да ротира точки во рамнината околу почетокот преку агол \(\theta\) . За ротација спротивно од стрелките на часовникот, матрицата на ротација е:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)За да ротираме точка \(P(x, y)\) околу потеклото со агол \(\theta\) , ги множиме нејзините координати со матрицата на ротација:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Оваа операција ги трансформира оригиналните координати \((x, y)\) во новите координати \((x', y')\) по ротацијата.
Пример 1: Размислете за точка \(P(2, 3)\) на Декартовската рамнина. За да ја ротираме оваа точка 90° спротивно од стрелките на часовникот околу потеклото, ја применуваме формулата за ротација од 90° спротивно од стрелките на часовникот, давајќи ја новата позиција \(P'(3, -2)\) .
Пример 2: Ако имаме правоаголник со агли на \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) и \(D(5, 1)\) , и сакаме да го ротираме овој правоаголник за 180° околу почетокот, новата позиција на секоја точка ќе биде \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) и \(D'(-5, -1)\) .
Ротацијата не е само математички концепт, туку и феномен од реалниот свет. На пример, Земјата ротира околу својата оска, што резултира со ден и ноќ. Слично на тоа, ротацијата на тркалата им овозможува на возилата да се движат. Во спортот, спортистите користат техники на ротација за да ги подобрат своите перформанси во активности како што се фрлање диск или уметничко лизгање.
Еден едноставен експеримент за разбирање на ротацијата вклучува користење на парче хартија и молив. Нацртајте форма со добро дефинирани темиња на хартијата. Закачете ја хартијата во точка што ќе служи како центар на ротација. Со помош на моливот, следете ја патеката на секое теме додека ја ротирате хартијата за одреден агол. Трасираните точки ги означуваат новите позиции на темињата на обликот по ротацијата.
Разбирањето на ротацијата помага во многу области надвор од математиката и геометријата, вклучувајќи ги физиката, инженерството, компјутерската графика и роботиката. Тоа е клучен концепт во дизајнирањето и интерпретацијата на движењето и ориентацијата на објектите во дводимензионални и тродимензионални простори.
