Энэ хичээлээр бид математик болон координатын геометрийн үндсэн өөрчлөлт болох эргэлтийн тухай ойлголтыг судлах болно. Эргүүлэх гэдэг нь дүрс эсвэл цэгийг дугуй замаар тогтмол төвийн эргэн тойронд шилжүүлэхийг хэлнэ. Энэ нь гурван үндсэн хүчин зүйлээр тодорхойлогддог: эргэлтийн төв, эргэлтийн өнцөг, эргэлтийн чиглэл (цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг).
Эргэлтийн төв: Энэ нь эргэн тойронд эргэлт гардаг тогтмол цэг юм. Энэ нь зургийн доторх, гаднах эсвэл аль нэг орой дээрх цэг байж болно.
Эргэлтийн өнцөг: Энэ нь эргэлтийн хэмжигдэхүүнийг градусаар эсвэл радианаар илэрхийлдэг бөгөөд эргэлтийн хэмжээг илэрхийлдэг. Эерэг өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг эргэхийг илэрхийлдэг бол сөрөг өнцөг нь цагийн зүүний дагуу эргэхийг илтгэнэ.
Эргэлтийн чиглэл: Эргэлтийг цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг хоёр чиглэлд хийж болно.
Координатын геометрийн хувьд бид цэг эсвэл объектыг эргүүлэхэд түүний байрлал нь эргэлтийн өнцгөөс хамааран тодорхой дүрмийн дагуу өөрчлөгддөг. Координатын хавтгайд цэгүүдийг (0,0) эхийн эргэн тойронд эргүүлэх дүрмийг энд харуулав.
Бусад төвүүдийн эргэн тойронд эргэдэг цэгүүд \(C(h, k)\) эргэлтийн өмнөх болон дараачийн байрлалыг тохируулахыг шаарддаг.
Эргэлтийн математик дүрслэл нь эргэлтийн матрицуудыг ашигладаг. Эргэлтийн матриц нь эхийн эргэн тойронд байгаа хавтгай дээрх цэгүүдийг \(\theta\) өнцгөөр эргүүлж чаддаг. Цагийн зүүний эсрэг эргэлтийн хувьд эргэлтийн матриц нь:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)\(P(x, y)\) цэгийг эхийн эргэн тойронд \(\theta\) өнцгөөр эргүүлэхийн тулд бид түүний координатыг эргэлтийн матрицаар үржүүлнэ.
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Энэ үйлдэл нь анхны координатыг \((x, y)\) эргүүлсний дараа шинэ координат \((x', y')\) болгон хувиргадаг.
Жишээ 1: Декарт хавтгай дээрх \(P(2, 3)\) цэгийг авч үзье. Энэ цэгийг гарал үүслийн дагуу цагийн зүүний эсрэг 90° эргүүлэхийн тулд бид цагийн зүүний эсрэг 90° эргүүлэх томъёог хэрэглэж, шинэ байрлалыг гаргана \(P'(3, -2)\) .
Жишээ 2: Хэрэв бидэнд өнцөг нь \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) болон \(D(5, 1)\) цэгүүдтэй тэгш өнцөгт байвал \(D(5, 1)\) , мөн бид энэ тэгш өнцөгтийг эхийн эргэн тойронд 180° эргүүлэхийг хүсэж байгаа бол цэг бүрийн шинэ байрлал нь \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) байх болно. \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) болон \(D'(-5, -1)\) .
Эргүүлэх нь зөвхөн математикийн ойлголт төдийгүй бодит ертөнцийн үзэгдэл юм. Жишээлбэл, дэлхий тэнхлэгээ тойрон эргэдэг бөгөөд үүний үр дүнд өдөр, шөнө байдаг. Үүний нэгэн адил дугуйны эргэлт нь тээврийн хэрэгслийг хөдөлгөх боломжийг олгодог. Спортын хувьд тамирчид зээрэнцэг шидэх, уран гулгалт гэх мэт үйл ажиллагаандаа гүйцэтгэлээ сайжруулахын тулд эргэлтийн техникийг ашигладаг.
Эргүүлэхийг ойлгох энгийн нэг туршилт бол цаас, харандаа ашиглах явдал юм. Цаасан дээр оройг нь сайн тодорхойлсон дүрсийг зур. Цаасыг эргүүлэх төв болох цэг дээр зүү. Цаасыг тодорхой өнцгөөр эргүүлэхдээ орой бүрийн замыг харандаа ашиглан зур. Мөшгих цэгүүд нь эргүүлсний дараа дүрсний оройн шинэ байрлалыг тэмдэглэнэ.
Эргэлтийн тухай ойлголт нь математик, геометрээс гадна физик, инженерчлэл, компьютер график, робот техник зэрэг олон салбарт тусалдаг. Энэ нь хоёр ба гурван хэмжээст орон зай дахь объектуудын хөдөлгөөн, чиг баримжааг төлөвлөх, тайлбарлах гол ойлголт юм.
