यस पाठमा, हामी परिक्रमाको अवधारणामा गहिरिएर जान्दछौं, गणित र समन्वय ज्यामिति दुवैमा मौलिक रूपान्तरण। परिक्रमा भन्नाले गोलाकार मार्गमा निश्चित केन्द्रको वरिपरि चित्र वा बिन्दु घुमाउनुलाई जनाउँछ। यो तीन मुख्य कारकहरू द्वारा विशेषता छ: घुमाउने केन्द्र, घुमाउने कोण, र घुमाउने दिशा (घडीको दिशा वा विपरीत दिशा)।
परिक्रमा केन्द्र: यो एक निश्चित बिन्दु हो जसको वरिपरि परिक्रमा हुन्छ। यो चित्र भित्र, यसको बाहिर, वा यसको शीर्षहरू मध्ये एकमा बिन्दु हुन सक्छ।
परिक्रमा कोण: यो परिक्रमा को माप हो, डिग्री वा रेडियन मा, परिक्रमा को सीमा को संकेत गर्दछ। सकारात्मक कोणले घडीको विपरीत दिशामा घुम्ने संकेत गर्छ, जबकि नकारात्मक कोणले घडीको दिशामा घुम्ने संकेत गर्छ।
घुमाउने दिशा: घुमाउने दुई दिशामा प्रदर्शन गर्न सकिन्छ - घडीको दिशामा वा घडीको विपरीत दिशामा।
समन्वय ज्यामितिमा, जब हामीले कुनै बिन्दु वा वस्तुलाई घुमाउँछौं, त्यसको स्थिति घुमाउने कोणको आधारमा निश्चित नियमहरू अनुसार परिवर्तन हुन्छ। यहाँ समन्वय विमानमा उत्पत्ति (०,०) वरिपरि घुम्ने बिन्दुहरूका लागि नियमहरू छन्:
कुनै पनि अन्य केन्द्रको वरिपरि घुमाउने बिन्दुहरू, \(C(h, k)\) , उत्पत्तिमा परिवर्तनको लागि रोटेशन अघि र पछि स्थितिहरू समायोजन गर्न आवश्यक छ।
रोटेशनको गणितीय प्रतिनिधित्वले रोटेशन म्याट्रिक्सहरू प्रयोग गर्दछ। एक रोटेशन म्याट्रिक्सले कोण \(\theta\) मार्फत उत्पत्तिको वरिपरि प्लेनमा बिन्दुहरूलाई घुमाउन सक्छ। घडीको विपरीत दिशामा रोटेशनको लागि, रोटेशन म्याट्रिक्स हो:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)कुनै बिन्दु \(P(x, y)\) उत्पत्तिको वरिपरि कोण \(\theta\) द्वारा घुमाउनको लागि, हामी यसको निर्देशांकलाई रोटेशन म्याट्रिक्सद्वारा गुणन गर्छौं:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)यो अपरेशनले मूल निर्देशांकहरू \((x, y)\) रोटेसन पछि नयाँ निर्देशांकहरू \((x', y')\) मा रूपान्तरण गर्छ।
उदाहरण १: कार्टेसियन प्लेनमा बिन्दु \(P(2, 3)\) विचार गर्नुहोस्। यस बिन्दुलाई उत्पत्तिको बारेमा 90° घडीको विपरीत दिशामा घुमाउनको लागि, हामी नयाँ स्थिति \(P'(3, -2)\) प्राप्त गर्दै 90° घडीको विपरीत दिशामा घुमाउने सूत्र लागू गर्छौं।
उदाहरण २: यदि हामीसँग \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , र \(D(5, 1)\) मा कुनाहरू भएको आयत छ भने। \(D(5, 1)\) , र हामी यो आयत 180° उत्पत्ति वरिपरि घुमाउन चाहन्छौं, प्रत्येक बिन्दुको नयाँ स्थिति \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) हुनेछ। \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) , र \(D'(-5, -1)\) ।
परिक्रमा एक गणितीय अवधारणा मात्र होइन तर एक वास्तविक-विश्व घटना पनि हो। उदाहरणका लागि, पृथ्वी आफ्नो अक्ष वरिपरि घुम्छ, जसको परिणाम दिन र रात हुन्छ। त्यसै गरी, पाङ्ग्रा घुमाउने सवारी साधनहरू चल्न अनुमति दिन्छ। खेलकुदमा, एथलीटहरूले डिस्कस थ्रो वा फिगर स्केटिङ जस्ता गतिविधिहरूमा आफ्नो प्रदर्शन बढाउन रोटेशन प्रविधिहरू प्रयोग गर्छन्।
रोटेशन बुझ्नको लागि एउटा सरल प्रयोगमा कागजको टुक्रा र पेन्सिल प्रयोग गर्नु समावेश छ। कागजमा राम्ररी परिभाषित ठाडोहरू सहितको आकार कोर्नुहोस्। कागजलाई एक बिन्दुमा पिन गर्नुहोस् जुन रोटेशनको केन्द्रको रूपमा सेवा गर्नेछ। पेन्सिलको प्रयोग गरेर, तपाईंले कागजलाई एक विशेष कोणबाट घुमाउँदा प्रत्येक vertex को मार्ग ट्रेस गर्नुहोस्। ट्रेस गरिएका बिन्दुहरूले रोटेशन पछि आकारको ठाडोहरूको नयाँ स्थितिहरू चिन्ह लगाउँछन्।
रोटेशन बुझ्नले गणित र ज्यामितिभन्दा बाहिरका धेरै क्षेत्रहरूमा मद्दत गर्छ, भौतिकशास्त्र, इन्जिनियरिङ्, कम्प्युटर ग्राफिक्स, र रोबोटिक्स। यो दुई र तीन-आयामी स्थानहरूमा वस्तुहरूको आन्दोलन र अभिविन्यास डिजाइन र व्याख्या गर्न एक प्रमुख अवधारणा हो।
