Na tej lekcji zagłębimy się w koncepcję obrotu, fundamentalną transformację zarówno w matematyce, jak i geometrii współrzędnych. Obrót oznacza przesuwanie figury lub punktu wokół ustalonego środka po torze kołowym. Charakteryzuje się trzema głównymi czynnikami: środkiem obrotu, kątem obrotu i kierunkiem obrotu (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
Środek obrotu: Jest to stały punkt, wokół którego następuje obrót. Może to być punkt wewnątrz figury, poza nią lub na jednym z jej wierzchołków.
Kąt obrotu: Jest to miara obrotu wyrażona w stopniach lub radianach, wskazująca zakres obrotu. Kąt dodatni oznacza obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, natomiast kąt ujemny oznacza obrót w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Kierunek obrotu: Obroty można wykonywać w dwóch kierunkach - zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
W geometrii współrzędnych, gdy obracamy punkt lub obiekt, jego położenie zmienia się według określonych zasad w zależności od kąta obrotu. Oto zasady obracania punktów wokół początku (0,0) w płaszczyźnie współrzędnych:
Obracanie punktów wokół dowolnego innego środka \(C(h, k)\) wymaga dostosowania pozycji przed i po obrocie, aby uwzględnić przesunięcie pochodzenia.
Matematyczna reprezentacja rotacji wykorzystuje macierze rotacji. Macierz obrotu może obracać punkty w płaszczyźnie wokół początku układu o kąt \(\theta\) . W przypadku obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara macierz obrotu to:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Aby obrócić punkt \(P(x, y)\) wokół początku układu współrzędnych o kąt \(\theta\) , mnożymy jego współrzędne przez macierz obrotu:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Ta operacja przekształca oryginalne współrzędne \((x, y)\) w nowe współrzędne \((x', y')\) po obrocie.
Przykład 1: Rozważmy punkt \(P(2, 3)\) na płaszczyźnie kartezjańskiej. Aby obrócić ten punkt o 90° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół początku układu współrzędnych, stosujemy wzór na obrót o 90° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymując nową pozycję \(P'(3, -2)\) .
Przykład 2: Jeśli mamy prostokąt z narożnikami w \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) i \(D(5, 1)\) i chcemy obrócić ten prostokąt o 180° wokół początku układu współrzędnych, nowa pozycja każdego punktu będzie wynosić \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) i \(D'(-5, -1)\) .
Rotacja to nie tylko koncepcja matematyczna, ale także zjawisko występujące w świecie rzeczywistym. Na przykład Ziemia obraca się wokół własnej osi, co powoduje dzień i noc. Podobnie obroty kół umożliwiają pojazdom poruszanie się. W sporcie sportowcy stosują techniki rotacyjne, aby poprawić swoje wyniki w takich czynnościach, jak rzut dyskiem lub łyżwiarstwo figurowe.
Jeden prosty eksperyment mający na celu zrozumienie rotacji polega na użyciu kartki papieru i ołówka. Narysuj na papierze kształt z wyraźnie określonymi wierzchołkami. Przypnij papier w punkcie, który będzie środkiem obrotu. Za pomocą ołówka prześledź ścieżkę każdego wierzchołka, obracając papier o określony kąt. Wyznaczone punkty wyznaczają nowe pozycje wierzchołków kształtu po obrocie.
Zrozumienie rotacji pomaga w wielu obszarach wykraczających poza matematykę i geometrię, w tym w fizyce, inżynierii, grafice komputerowej i robotyce. Jest to kluczowa koncepcja w projektowaniu i interpretacji ruchu i orientacji obiektów w przestrzeniach dwu- i trójwymiarowych.
