На этом уроке мы углубимся в концепцию вращения — фундаментальное преобразование как в математике, так и в координатной геометрии. Вращение означает перемещение фигуры или точки вокруг фиксированного центра по круговой траектории. Он характеризуется тремя основными факторами: центром вращения, углом поворота и направлением вращения (по часовой стрелке или против часовой стрелки).
Центр вращения: это фиксированная точка, вокруг которой происходит вращение. Это может быть точка внутри фигуры, вне ее или в одной из ее вершин.
Угол вращения: это мера вращения в градусах или радианах, указывающая степень вращения. Положительный угол означает вращение против часовой стрелки, а отрицательный угол означает вращение по часовой стрелке.
Направление вращения: Вращения могут выполняться в двух направлениях – по часовой стрелке или против часовой стрелки.
В координатной геометрии, когда мы вращаем точку или объект, его положение меняется по определенным правилам в зависимости от угла поворота. Вот правила вращения точек вокруг начала координат (0,0) в координатной плоскости:
Вращение точек вокруг любого другого центра \(C(h, k)\) требует корректировки положений до и после вращения, чтобы учесть сдвиг начала координат.
Математическое представление вращения использует матрицы вращения. Матрица вращения может вращать точки плоскости вокруг начала координат на угол \(\theta\) . Для вращения против часовой стрелки матрица вращения имеет вид:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Чтобы повернуть точку \(P(x, y)\) вокруг начала координат на угол \(\theta\) , мы умножаем ее координаты на матрицу вращения:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Эта операция преобразует исходные координаты \((x, y)\) в новые координаты \((x', y')\) после вращения.
Пример 1: Рассмотрим точку \(P(2, 3)\) на декартовой плоскости. Чтобы повернуть эту точку на 90° против часовой стрелки относительно начала координат, мы применяем формулу для поворота на 90° против часовой стрелки, получая новое положение \(P'(3, -2)\) .
Пример 2. Если у нас есть прямоугольник с углами \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) и \(D(5, 1)\) , и мы хотим повернуть этот прямоугольник на 180° вокруг начала координат, новое положение каждой точки будет \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) и \(D'(-5, -1)\) .
Вращение — это не просто математическая концепция, но и явление реального мира. Например, Земля вращается вокруг своей оси, в результате чего сменяется день и ночь. Точно так же вращение колес позволяет транспортным средствам двигаться. В спорте спортсмены используют технику вращения, чтобы улучшить свои результаты в таких видах спорта, как метание диска или фигурное катание.
Один простой эксперимент, позволяющий понять вращение, предполагает использование листа бумаги и карандаша. Нарисуйте на бумаге фигуру с четко выраженными вершинами. Прикрепите бумагу в точке, которая будет служить центром вращения. Карандашом проследите путь каждой вершины, поворачивая бумагу на определенный угол. Начерченные точки отмечают новые положения вершин фигуры после вращения.
Понимание вращения помогает во многих областях, помимо математики и геометрии, включая физику, инженерное дело, компьютерную графику и робототехнику. Это ключевая концепция проектирования и интерпретации движения и ориентации объектов в двух- и трехмерном пространстве.
