Në këtë mësim, ne thellojmë konceptin e rrotullimit, një transformim themelor si në matematikë ashtu edhe në gjeometrinë e koordinatave. Rrotullimi i referohet lëvizjes së një figure ose një pike rreth një qendre fikse në një shteg rrethor. Karakterizohet nga tre faktorë kryesorë: qendra e rrotullimit, këndi i rrotullimit dhe drejtimi i rrotullimit (në drejtim të akrepave të orës ose në të kundërt).
Qendra e rrotullimit: Kjo është një pikë fikse rreth së cilës ndodh rrotullimi. Mund të jetë një pikë brenda figurës, jashtë saj ose në një nga kulmet e saj.
Këndi i rrotullimit: Kjo është masa e rrotullimit, në gradë ose radianë, që tregon shtrirjen e rrotullimit. Një kënd pozitiv tregon rrotullimin në drejtim të akrepave të orës, ndërsa një kënd negativ tregon rrotullimin në drejtim të akrepave të orës.
Drejtimi i rrotullimit: Rrotullimet mund të kryhen në dy drejtime - në drejtim të akrepave të orës ose në të kundërt.
Në gjeometrinë e koordinatave, kur rrotullojmë një pikë ose një objekt, pozicioni i saj ndryshon sipas rregullave specifike në varësi të këndit të rrotullimit. Këtu janë rregullat për rrotullimin e pikave rreth origjinës (0,0) në planin koordinativ:
Pikat rrotulluese rreth çdo qendre tjetër, \(C(h, k)\) , kërkon rregullimin e pozicioneve para dhe pas rrotullimit për të llogaritur zhvendosjen në origjinë.
Paraqitja matematikore e rrotullimit përdor matricat e rrotullimit. Një matricë rrotullimi mund të rrotullojë pikat në rrafsh rreth origjinës përmes një këndi \(\theta\) . Për rrotullimin në drejtim të kundërt të akrepave të orës, matrica e rrotullimit është:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Për të rrotulluar një pikë \(P(x, y)\) rreth origjinës me një kënd \(\theta\) , ne shumëzojmë koordinatat e saj me matricën e rrotullimit:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Ky operacion transformon koordinatat origjinale \((x, y)\) në koordinatat e reja \((x', y')\) pas rrotullimit.
Shembulli 1: Konsideroni një pikë \(P(2, 3)\) në rrafshin kartezian. Për ta rrotulluar këtë pikë 90° në të kundërt të akrepave të orës rreth origjinës, ne zbatojmë formulën për një rrotullim 90° në të kundërt të akrepave të orës, duke dhënë pozicionin e ri \(P'(3, -2)\) .
Shembulli 2: Nëse kemi një drejtkëndësh me qoshe në \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , dhe \(D(5, 1)\) , dhe duam ta rrotullojmë këtë drejtkëndësh 180° rreth origjinës, pozicioni i ri i secilës pikë do të jetë \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) dhe \(D'(-5, -1)\) .
Rrotullimi nuk është vetëm një koncept matematikor, por edhe një fenomen i botës reale. Për shembull, Toka rrotullohet rreth boshtit të saj, duke rezultuar në ditën dhe natën. Në mënyrë të ngjashme, rrotullimet e rrotave lejojnë lëvizjen e automjeteve. Në sport, atletët përdorin teknika rrotullimi për të rritur performancën e tyre në aktivitete të tilla si hedhja e diskut ose patinazhi me figura.
Një eksperiment i thjeshtë për të kuptuar rrotullimin përfshin përdorimin e një copë letre dhe një laps. Vizatoni një formë me kulme të përcaktuara mirë në letër. Mbërtheni letrën në një pikë që do të shërbejë si qendra e rrotullimit. Duke përdorur lapsin, gjurmoni shtegun e secilës kulm ndërsa rrotulloni letrën me një kënd të caktuar. Pikat e gjurmuara shënojnë pozicionet e reja të kulmeve të formës pas rrotullimit.
Të kuptuarit e rrotullimit ndihmon në shumë fusha përtej matematikës dhe gjeometrisë, duke përfshirë fizikën, inxhinierinë, grafikën kompjuterike dhe robotikën. Është një koncept kyç në projektimin dhe interpretimin e lëvizjes dhe orientimit të objekteve në hapësira dy dhe tredimensionale.
