ในบทนี้ เราจะเจาะลึกแนวคิดเรื่องการหมุน ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานทั้งทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตพิกัด การหมุนหมายถึงการเคลื่อนรูปหรือจุดรอบๆ จุดศูนย์กลางคงที่ในเส้นทางวงกลม โดยมีปัจจัยหลักสามประการ ได้แก่ จุดศูนย์กลางการหมุน มุมการหมุน และทิศทางการหมุน (ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา)
จุดศูนย์กลางการหมุน: นี่คือจุดคงที่ที่เกิดการหมุน อาจเป็นจุดภายในรูป ภายนอก หรือที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง
มุมการหมุน: นี่คือการวัดการหมุนในหน่วยองศาหรือเรเดียน ซึ่งระบุขอบเขตของการหมุน มุมบวกหมายถึงการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ในขณะที่มุมลบหมายถึงการหมุนตามเข็มนาฬิกา
ทิศทางการหมุน: การหมุนสามารถทำได้สองทิศทาง - ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา
ในเรขาคณิตพิกัด เมื่อเราหมุนจุดหรือวัตถุ ตำแหน่งจะเปลี่ยนตามกฎเฉพาะ ขึ้นอยู่กับมุมของการหมุน ต่อไปนี้เป็นกฎสำหรับการหมุนจุดรอบจุดกำเนิด (0,0) ในระนาบพิกัด:
การหมุนจุดรอบจุดศูนย์กลางอื่นๆ \(C(h, k)\) จำเป็นต้องปรับตำแหน่งก่อนและหลังการหมุนเพื่อพิจารณาถึงการเปลี่ยนแปลงในจุดเริ่มต้น
การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของการหมุนใช้เมทริกซ์การหมุน เมทริกซ์การหมุนสามารถหมุนจุดในระนาบรอบจุดกำเนิดผ่านมุม \(\theta\) สำหรับการหมุนทวนเข็มนาฬิกา เมทริกซ์การหมุนคือ:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)ในการหมุนจุด \(P(x, y)\) รอบจุดกำเนิดด้วยมุม \(\theta\) เราจะคูณพิกัดของมันด้วยเมทริกซ์การหมุน:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)การดำเนินการนี้จะแปลงพิกัดเดิม \((x, y)\) เป็นพิกัดใหม่ \((x', y')\) หลังจากการหมุน
ตัวอย่างที่ 1: พิจารณาจุด \(P(2, 3)\) บนระนาบคาร์ทีเซียน หากต้องการหมุนจุดนี้ 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด เราใช้สูตรสำหรับการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90° จะได้ตำแหน่งใหม่ \(P'(3, -2)\)
ตัวอย่างที่ 2: หากเรามีสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) และ \(D(5, 1)\) และเราต้องการหมุนสี่เหลี่ยมนี้ 180° รอบจุดกำเนิด ตำแหน่งใหม่ของแต่ละจุดจะเป็น \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) และ \(D'(-5, -1)\)
การหมุนไม่ได้เป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ แต่ยังเป็นปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงด้วย เช่น โลกหมุนรอบแกนของมัน ทำให้เกิดกลางวันและกลางคืน ในทำนองเดียวกัน การหมุนล้อทำให้ยานพาหนะเคลื่อนที่ได้ ในกีฬา นักกีฬาใช้เทคนิคการหมุนเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในกิจกรรมต่างๆ เช่น การขว้างจักรหรือสเก็ตลีลา
การทดลองง่ายๆ อย่างหนึ่งเพื่อทำความเข้าใจการหมุนคือการใช้กระดาษและดินสอ วาดรูปทรงที่มีจุดยอดที่กำหนดไว้อย่างดีบนกระดาษ ปักหมุดกระดาษตรงจุดที่จะทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางของการหมุน ใช้ดินสอวาดเส้นทางของจุดยอดแต่ละจุดในขณะที่คุณหมุนกระดาษตามมุมที่กำหนด จุดที่ลากตามจะทำเครื่องหมายตำแหน่งใหม่ของจุดยอดของรูปร่างหลังจากการหมุน
การทำความเข้าใจเกี่ยวกับการหมุนช่วยได้ในหลายด้านนอกเหนือจากคณิตศาสตร์และเรขาคณิต รวมถึงฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ คอมพิวเตอร์กราฟิก และหุ่นยนต์ เป็นแนวคิดหลักในการออกแบบและตีความการเคลื่อนไหวและการวางแนวของวัตถุในพื้นที่สองและสามมิติ
