Sa araling ito, hinangad natin ang konsepto ng pag-ikot, isang pangunahing pagbabago sa parehong matematika at coordinate geometry. Ang pag-ikot ay tumutukoy sa paglipat ng isang pigura o isang punto sa paligid ng isang nakapirming sentro sa isang pabilog na landas. Ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng tatlong pangunahing mga kadahilanan: ang sentro ng pag-ikot, ang anggulo ng pag-ikot, at ang direksyon ng pag-ikot (clockwise o counterclockwise).
Sentro ng Pag-ikot: Ito ay isang nakapirming punto sa paligid kung saan nangyayari ang pag-ikot. Maaari itong maging isang punto sa loob ng figure, sa labas nito, o sa isa sa mga vertex nito.
Anggulo ng Pag-ikot: Ito ang sukat ng pag-ikot, sa mga degree o radian, na nagpapahiwatig ng lawak ng pag-ikot. Ang isang positibong anggulo ay nagpapahiwatig ng counterclockwise na pag-ikot, habang ang isang negatibong anggulo ay nagpapahiwatig ng clockwise na pag-ikot.
Direksyon ng Pag-ikot: Maaaring isagawa ang mga pag-ikot sa dalawang direksyon - clockwise o counterclockwise.
Sa coordinate geometry, kapag iniikot natin ang isang punto o isang bagay, nagbabago ang posisyon nito ayon sa mga partikular na panuntunan depende sa anggulo ng pag-ikot. Narito ang mga panuntunan para sa mga umiikot na punto sa paligid ng pinanggalingan (0,0) sa coordinate plane:
Ang mga umiikot na punto sa paligid ng anumang iba pang sentro, \(C(h, k)\) , ay nangangailangan ng pagsasaayos ng mga posisyon bago at pagkatapos ng pag-ikot upang maisaalang-alang ang paglilipat sa pinagmulan.
Ang mathematical na representasyon ng pag-ikot ay gumagamit ng mga rotation matrice. Maaaring paikutin ng rotation matrix ang mga punto sa eroplano sa paligid ng pinanggalingan sa pamamagitan ng isang anggulo \(\theta\) . Para sa counterclockwise rotation, ang rotation matrix ay:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Upang paikutin ang isang punto \(P(x, y)\) sa paligid ng pinanggalingan sa pamamagitan ng isang anggulo \(\theta\) , pinaparami namin ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng rotation matrix:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Binabago ng operasyong ito ang orihinal na mga coordinate \((x, y)\) sa mga bagong coordinate \((x', y')\) pagkatapos ng pag-ikot.
Halimbawa 1: Isaalang-alang ang isang punto \(P(2, 3)\) sa Cartesian plane. Upang paikutin ang puntong ito ng 90° counterclockwise tungkol sa pinanggalingan, inilalapat namin ang formula para sa 90° counterclockwise na pag-ikot, na nagbubunga ng bagong posisyon \(P'(3, -2)\) .
Halimbawa 2: Kung mayroon tayong parihaba na may mga sulok sa \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , at \(D(5, 1)\) , at gusto naming paikutin ang rectangle na ito nang 180° sa paligid ng pinanggalingan, ang bagong posisyon ng bawat punto ay \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) , at \(D'(-5, -1)\) .
Ang pag-ikot ay hindi lamang isang matematikal na konsepto kundi isang real-world phenomenon. Halimbawa, umiikot ang Earth sa paligid ng axis nito, na nagreresulta sa araw at gabi. Katulad nito, ang mga pag-ikot ng gulong ay nagpapahintulot sa mga sasakyan na gumalaw. Sa sports, ang mga atleta ay gumagamit ng mga diskarte sa pag-ikot upang mapahusay ang kanilang pagganap sa mga aktibidad tulad ng discus throw o figure skating.
Ang isang simpleng eksperimento upang maunawaan ang pag-ikot ay kinabibilangan ng paggamit ng isang piraso ng papel at isang lapis. Gumuhit ng isang hugis na may mahusay na tinukoy na mga vertex sa papel. I-pin ang papel sa isang punto na magsisilbing sentro ng pag-ikot. Gamit ang lapis, subaybayan ang landas ng bawat vertex habang iniikot mo ang papel sa isang tiyak na anggulo. Ang mga sinusubaybayang punto ay minarkahan ang mga bagong posisyon ng mga vertices ng hugis pagkatapos ng pag-ikot.
Ang pag-unawa sa pag-ikot ay nakakatulong sa maraming lugar na lampas sa matematika at geometry, kabilang ang physics, engineering, computer graphics, at robotics. Ito ay isang pangunahing konsepto sa pagdidisenyo at pagbibigay-kahulugan sa paggalaw at oryentasyon ng mga bagay sa dalawa at tatlong-dimensional na espasyo.
