У цьому уроці ми заглибимося в концепцію обертання, фундаментального перетворення як у математиці, так і в координатній геометрії. Обертання означає переміщення фігури або точки навколо фіксованого центру по круговій траєкторії. Він характеризується трьома основними факторами: центром обертання, кутом повороту та напрямком обертання (за або проти годинникової стрілки).
Центр обертання: це фіксована точка, навколо якої відбувається обертання. Це може бути точка всередині фігури, поза нею або в одній з її вершин.
Кут повороту: це міра обертання в градусах або радіанах, що вказує на ступінь обертання. Позитивний кут означає обертання проти годинникової стрілки, тоді як від’ємний кут вказує на обертання за годинниковою стрілкою.
Напрямок обертання: обертання можна виконувати в двох напрямках - за або проти годинникової стрілки.
У координатній геометрії, коли ми обертаємо точку або об’єкт, його положення змінюється відповідно до певних правил залежно від кута повороту. Ось правила обертання точок навколо початку координат (0,0) у координатній площині:
Обертання точок навколо будь-якого іншого центру, \(C(h, k)\) , потребує коригування позицій до та після обертання, щоб врахувати зсув у початку.
Математичне представлення обертання використовує матриці обертання. Матриця обертання може обертати точки на площині навколо початку координат на кут \(\theta\) . Для обертання проти годинникової стрілки матриця обертання:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Щоб повернути точку \(P(x, y)\) навколо початку координат на кут \(\theta\) , ми множимо її координати на матрицю обертання:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Ця операція перетворює початкові координати \((x, y)\) у нові координати \((x', y')\) після обертання.
Приклад 1: Розглянемо точку \(P(2, 3)\) на декартовій площині. Щоб повернути цю точку на 90° проти годинникової стрілки щодо початку координат, ми застосовуємо формулу для обертання на 90° проти годинникової стрілки, що дає нове положення \(P'(3, -2)\) .
Приклад 2. Якщо у нас є прямокутник із кутами \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) і \(D(5, 1)\) ) \(D(5, 1)\) , і ми хочемо повернути цей прямокутник на 180° навколо початку координат, нова позиція кожної точки буде \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) і \(D'(-5, -1)\) .
Обертання — це не лише математична концепція, а й явище реального світу. Наприклад, Земля обертається навколо своєї осі, в результаті чого день і ніч. Подібним чином обертання коліс дозволяє транспортним засобам рухатися. У спорті спортсмени використовують техніку обертання, щоб покращити свою продуктивність у таких видах діяльності, як метання диска чи фігурне катання.
Один простий експеримент для розуміння обертання передбачає використання аркуша паперу та олівця. Намалюйте на папері форму з чітко визначеними вершинами. Прикріпіть папір у точці, яка буде служити центром обертання. За допомогою олівця простежте шлях кожної вершини, повертаючи папір на певний кут. Проведені точки позначають нові позиції вершин фігури після повороту.
Розуміння обертання допомагає в багатьох сферах, окрім математики та геометрії, включаючи фізику, техніку, комп’ютерну графіку та робототехніку. Це ключове поняття в проектуванні та інтерпретації руху та орієнтації об’єктів у дво- та тривимірному просторі.
