اس سبق میں، ہم گردش کے تصور پر غور کرتے ہیں، جو کہ ریاضی اور کوآرڈینیٹ جیومیٹری دونوں میں ایک بنیادی تبدیلی ہے۔ گردش سے مراد ایک شکل یا کسی نقطے کو ایک مقررہ مرکز کے گرد دائرے کے راستے میں منتقل کرنا ہے۔ اس کی خصوصیت تین اہم عوامل سے ہوتی ہے: گردش کا مرکز، گردش کا زاویہ، اور گردش کی سمت (گھڑی کی سمت یا مخالف گھڑی کی سمت)۔
گردش کا مرکز: یہ ایک مقررہ نقطہ ہے جس کے گرد گردش ہوتی ہے۔ یہ اعداد و شمار کے اندر، اس کے باہر، یا اس کے عمودی حصے میں سے ایک نقطہ ہو سکتا ہے۔
گردش کا زاویہ: یہ گردش کا پیمانہ ہے، ڈگری یا ریڈین میں، گردش کی حد کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک مثبت زاویہ گھڑی کے مخالف گردش کو ظاہر کرتا ہے، جبکہ منفی زاویہ گھڑی کی سمت میں گردش کی نشاندہی کرتا ہے۔
گردش کی سمت: گردش دو سمتوں میں کی جا سکتی ہے - گھڑی کی سمت یا گھڑی کی سمت۔
کوآرڈینیٹ جیومیٹری میں، جب ہم کسی نقطہ یا کسی چیز کو گھماتے ہیں، تو اس کی پوزیشن گردش کے زاویہ کے لحاظ سے مخصوص اصولوں کے مطابق بدل جاتی ہے۔ کوآرڈینیٹ ہوائی جہاز میں اصل (0,0) کے گرد گھومنے والے پوائنٹس کے اصول یہ ہیں:
کسی بھی دوسرے مرکز کے ارد گرد گھومنے والے پوائنٹس، \(C(h, k)\) ، کے لیے گردش سے پہلے اور بعد کی پوزیشنوں کو ایڈجسٹ کرنے کی ضرورت ہوتی ہے تاکہ اصل میں تبدیلی کا حساب ہو۔
گردش کی ریاضیاتی نمائندگی گردش میٹرکس کا استعمال کرتی ہے۔ ایک گردش میٹرکس ایک زاویہ \(\theta\) کے ذریعے ہوائی جہاز میں پوائنٹس کو اصل کے گرد گھما سکتا ہے۔ گھڑی کی مخالف گردش کے لیے، گردش میٹرکس یہ ہے:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)کسی نقطہ \(P(x, y)\) ماخذ کے گرد ایک زاویہ \(\theta\) سے گھمانے کے لیے، ہم اس کے نقاط کو گردش میٹرکس سے ضرب دیتے ہیں:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)یہ عمل گردش کے بعد اصل نقاط \((x, y)\) نئے نقاط \((x', y')\) میں بدل دیتا ہے۔
مثال 1: کارٹیشین جہاز پر ایک نقطہ \(P(2, 3)\) غور کریں۔ اس نقطہ کو اصل کے بارے میں 90° مخالف گھڑی کی سمت میں گھمانے کے لیے، ہم 90° مخالف گھڑی کی سمت میں گھماؤ کے فارمولے کو لاگو کرتے ہیں، نئی پوزیشن حاصل کرتے ہوئے \(P'(3, -2)\) ۔
مثال 2: اگر ہمارے پاس کونوں کے ساتھ مستطیل ہے \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , اور \(D(5, 1)\) ، اور ہم اس مستطیل کو 180° اصل کے گرد گھمانا چاہتے ہیں، ہر پوائنٹ کی نئی پوزیشن ہو گی \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) ، \(C'(-5, -4)\) ، اور \(D'(-5, -1)\) ۔
گردش صرف ایک ریاضیاتی تصور نہیں ہے بلکہ ایک حقیقی دنیا کا واقعہ بھی ہے۔ مثال کے طور پر، زمین اپنے محور کے گرد گھومتی ہے، جس کے نتیجے میں دن اور رات ہوتے ہیں۔ اسی طرح پہیے کی گردش گاڑیوں کو چلنے دیتی ہے۔ کھیلوں میں، کھلاڑی ڈسکس تھرو یا فگر سکیٹنگ جیسی سرگرمیوں میں اپنی کارکردگی کو بڑھانے کے لیے گردش کی تکنیک استعمال کرتے ہیں۔
گردش کو سمجھنے کے لیے ایک سادہ تجربہ میں کاغذ کا ایک ٹکڑا اور پنسل استعمال کرنا شامل ہے۔ کاغذ پر اچھی طرح سے متعین عمودی خطوط کے ساتھ ایک شکل بنائیں۔ کاغذ کو اس مقام پر پن کریں جو گردش کے مرکز کے طور پر کام کرے گا۔ پنسل کا استعمال کرتے ہوئے، جب آپ کاغذ کو ایک مخصوص زاویہ سے گھماتے ہیں تو ہر چوٹی کے راستے کا پتہ لگائیں۔ ٹریس شدہ پوائنٹس گردش کے بعد شکل کے عمودی حصوں کی نئی پوزیشنوں کو نشان زد کرتے ہیں۔
گردش کو سمجھنے سے ریاضی اور جیومیٹری سے آگے کے متعدد شعبوں میں مدد ملتی ہے، بشمول فزکس، انجینئرنگ، کمپیوٹر گرافکس اور روبوٹکس۔ یہ دو اور تین جہتی خالی جگہوں میں اشیاء کی حرکت اور واقفیت کو ڈیزائن اور تشریح کرنے میں ایک کلیدی تصور ہے۔
