Ushbu darsda biz aylanish tushunchasini, matematikada ham, koordinata geometriyasida ham fundamental transformatsiyani o'rganamiz. Aylanish deganda figurani yoki nuqtani aylanma yo‘lda qo‘zg‘almas markaz atrofida harakatlantirish tushuniladi. U uchta asosiy omil bilan tavsiflanadi: aylanish markazi, burilish burchagi va aylanish yo'nalishi (soat yo'nalishi bo'yicha yoki teskari).
Aylanish markazi: Bu aylanish sodir bo'ladigan sobit nuqta. Bu rasm ichida, uning tashqarisida yoki uning cho'qqilaridan birida joylashgan nuqta bo'lishi mumkin.
Aylanish burchagi: Bu aylanish o'lchovidir, gradus yoki radianda, aylanish darajasini ko'rsatadi. Ijobiy burchak soat miliga teskari aylanishni bildiradi, salbiy burchak esa soat yo'nalishi bo'yicha aylanishni bildiradi.
Aylanish yo'nalishi: aylanishlar ikki yo'nalishda - soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat sohasi farqli ravishda amalga oshirilishi mumkin.
Koordinata geometriyasida nuqta yoki ob'ektni aylantirganimizda, uning pozitsiyasi aylanish burchagiga qarab muayyan qoidalarga muvofiq o'zgaradi. Koordinata tekisligida nuqtalarni koordinata (0,0) atrofida aylantirish qoidalari:
Har qanday boshqa markaz atrofida aylanish nuqtalari, \(C(h, k)\) aylanmadan oldingi va keyingi oʻrinlarni oʻzgartirishni talab qiladi.
Aylanishning matematik tasviri aylanish matritsalaridan foydalanadi. Aylanish matritsasi tekislikdagi nuqtalarni burchak ostida aylantirishi mumkin \(\theta\) . Soat miliga teskari aylanish uchun aylanish matritsasi:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)\(P(x, y)\) nuqtani boshlangʻich atrofida \(\theta\) burchakka aylantirish uchun uning koordinatalarini aylanish matritsasiga koʻpaytiramiz:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Bu operatsiya aylanishdan keyin original \((x, y)\) koordinatalarini yangi koordinatalarga \((x', y')\) aylantiradi.
1-misol: Dekart tekisligidagi \(P(2, 3)\) nuqtani ko'rib chiqaylik. Ushbu nuqtani soat sohasi bo'yicha 90 ° ga teskari yo'nalishda aylantirish uchun biz formulani soat miliga teskari yo'nalishda 90 ° aylantirish uchun qo'llaymiz va yangi pozitsiyani olamiz \(P'(3, -2)\) .
2-misol: Agar burchaklari \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) va \(D(5, 1)\) boʻlgan toʻrtburchakka ega boʻlsak. \(D(5, 1)\) va biz bu toʻrtburchakni koordinata atrofida 180° aylantirmoqchimiz, har bir nuqtaning yangi pozitsiyasi \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) boʻladi. \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) va \(D'(-5, -1)\) .
Aylanish nafaqat matematik tushuncha, balki real dunyo hodisasidir. Masalan, Yer o'z o'qi atrofida aylanadi, natijada kunduz va tun. Xuddi shunday, g'ildiraklarning aylanishi transport vositalarining harakatlanishiga imkon beradi. Sportda sportchilar disk uloqtirish yoki figurali uchish kabi mashg'ulotlarda o'z samaradorligini oshirish uchun aylanish usullaridan foydalanadilar.
Aylanishni tushunish uchun oddiy tajriba qog'oz va qalamdan foydalanishni o'z ichiga oladi. Qog'ozga uchlari aniq belgilangan shaklni chizish. Qog'ozni aylanish markazi bo'lib xizmat qiladigan nuqtaga mahkamlang. Qalamdan foydalanib, qog'ozni ma'lum bir burchakka aylantirganda, har bir cho'qqining yo'lini belgilang. Tuzatilgan nuqtalar aylantirilgandan keyin shakl cho'qqilarining yangi joylarini belgilaydi.
Aylanishni tushunish matematika va geometriyadan tashqari, fizika, muhandislik, kompyuter grafikasi va robototexnika kabi ko'plab sohalarda yordam beradi. Bu ikki va uch o'lchovli fazolarda ob'ektlarning harakati va yo'nalishini loyihalash va izohlashda asosiy tushunchadir.
