Trong bài học này, chúng ta đi sâu vào khái niệm phép quay, một phép biến đổi cơ bản trong cả toán học và hình học tọa độ. Xoay đề cập đến việc di chuyển một hình hoặc một điểm xung quanh một tâm cố định theo một đường tròn. Nó được đặc trưng bởi ba yếu tố chính: tâm quay, góc quay và hướng quay (theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ).
Tâm quay: Đây là một điểm cố định xung quanh nơi xảy ra chuyển động quay. Nó có thể là một điểm bên trong hình, bên ngoài hình hoặc tại một trong các đỉnh của hình.
Góc quay: Đây là thước đo góc quay, tính bằng độ hoặc radian, biểu thị mức độ quay. Góc dương biểu thị sự quay ngược chiều kim đồng hồ, trong khi góc âm biểu thị sự quay theo chiều kim đồng hồ.
Hướng quay: Xoay có thể được thực hiện theo hai hướng - theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Trong hình học tọa độ, khi chúng ta quay một điểm hoặc một vật, vị trí của nó thay đổi theo những quy luật nhất định tùy thuộc vào góc quay. Dưới đây là các quy tắc quay điểm quanh gốc tọa độ (0,0) trong mặt phẳng tọa độ:
Việc xoay các điểm xung quanh bất kỳ tâm nào khác, \(C(h, k)\) , yêu cầu điều chỉnh các vị trí trước và sau khi xoay để tính đến sự dịch chuyển về gốc tọa độ.
Biểu diễn toán học của phép quay sử dụng ma trận phép quay. Ma trận xoay có thể xoay các điểm trong mặt phẳng xung quanh gốc tọa độ một góc \(\theta\) . Để quay ngược chiều kim đồng hồ, ma trận quay là:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Để xoay một điểm \(P(x, y)\) xung quanh gốc tọa độ một góc \(\theta\) , chúng ta nhân tọa độ của nó với ma trận xoay:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Thao tác này biến đổi tọa độ ban đầu \((x, y)\) thành tọa độ mới \((x', y')\) sau khi xoay.
Ví dụ 1: Xét điểm \(P(2, 3)\) trên mặt phẳng Descartes. Để xoay điểm này 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ, chúng ta áp dụng công thức xoay 90° ngược chiều kim đồng hồ, thu được vị trí mới \(P'(3, -2)\) .
Ví dụ 2: Nếu chúng ta có một hình chữ nhật có các góc tại \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , và \(D(5, 1)\) và chúng tôi muốn xoay hình chữ nhật này 180° xung quanh điểm gốc, vị trí mới của mỗi điểm sẽ là \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) và \(D'(-5, -1)\) .
Phép quay không chỉ là một khái niệm toán học mà còn là một hiện tượng trong thế giới thực. Ví dụ, Trái đất quay quanh trục của nó nên có ngày và đêm. Tương tự, bánh xe quay cho phép các phương tiện di chuyển. Trong thể thao, các vận động viên sử dụng kỹ thuật xoay người để nâng cao thành tích trong các hoạt động như ném đĩa hay trượt băng nghệ thuật.
Một thí nghiệm đơn giản để hiểu chuyển động quay bao gồm việc sử dụng một mảnh giấy và một cây bút chì. Vẽ một hình có các đỉnh được xác định rõ trên giấy. Ghim giấy vào một điểm sẽ đóng vai trò là tâm xoay. Dùng bút chì vẽ đường đi của từng đỉnh khi bạn xoay tờ giấy theo một góc cụ thể. Các điểm theo dõi đánh dấu vị trí mới của các đỉnh của hình sau khi xoay.
Hiểu về phép quay giúp ích trong nhiều lĩnh vực ngoài toán học và hình học, bao gồm vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính và robot. Đây là một khái niệm quan trọng trong việc thiết kế và diễn giải chuyển động và hướng của các vật thể trong không gian hai và ba chiều.
