المتجه هو كائن رياضي له مقدار (أو طول) واتجاه. تُستخدم المتجهات على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة والرياضيات، وخاصة في مجال الهندسة. إنها تساعدنا على فهم ووصف العالم من حولنا من حيث الحركة والقوى. في الهندسة، يمكن للمتجهات أن تمثل المواضع، والإزاحات، وحتى القوى المؤثرة على الأشياء.
يمكن تمثيل المتجهات بعدة طرق، ولكن إحدى الطرق الأكثر شيوعًا هي استخدام الإحداثيات. في الفضاء ثنائي الأبعاد، يتم تمثيل المتجه بزوج من الأرقام \((x, y)\) التي تتوافق مع مكوناته الأفقية والرأسية، على التوالي. تشير هذه المكونات إلى اتجاه وحجم المتجه. على سبيل المثال، المتجه \((3, 4)\) يمتد 3 وحدات في الاتجاه الأفقي و4 وحدات في الاتجاه الرأسي. يمكن حساب حجم أو طول المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس. يتم تحديد حجم المتجه \((a, b)\) بواسطة الصيغة \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم تمثيل المتجه بثلاثة إحداثيات \((x, y, z)\) ، مع إضافة عنصر العمق إلى الإحداثيات الأفقية والرأسية. وهذا يسمح بتمثيل الحركة في بيئات ثلاثية الأبعاد، مثل مسارات الطيران أو سلوك الغازات.
إحدى العمليات الأساسية مع المتجهات هي جمعها. عند إضافة متجهين، تتم إضافة مكوناتهما بشكل فردي. على سبيل المثال، مجموع المتجهات \((1, 2)\) و \((3, 4)\) هو المتجه \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . غالبًا ما يتم تصور هذه العملية عن طريق وضع ذيل أحد المتجهين على رأس المتجه الآخر ورسم المتجه من الذيل الحر إلى الرأس الحر. يُعرف هذا باسم طريقة الطرف إلى الذيل . جمع المتجهات عملية تبادلية، أي أن ترتيب المتجهات لا يؤثر على النتيجة.
يمكن اعتبار عملية طرح المتجهات بمثابة إضافة متجه في الاتجاه المعاكس. الفرق بين المتجهين \((a, b)\) و \((c, d)\) معطى بواسطة \((ac, bd)\) .
يمكن ضرب المتجه برقم قياسي (رقم واحد) لتغيير حجمه دون التأثير على اتجاهه. إذا قمنا بضرب المتجه \((x, y)\) في عددية \(k\) ، فإن النتيجة هي المتجه \((kx, ky)\) . على سبيل المثال، ضرب المتجه \((2, 3)\) في العددية \(2\) ينتج عنه المتجه \((4, 6)\) . يمكن أيضًا استخدام هذه العملية لعكس اتجاه المتجه عن طريق ضربه بـ \(-1\) .
المنتج النقطي هو عملية تأخذ متجهين وترجع رقمًا واحدًا (عدديًا). يتم حساب المنتج النقطي لمتجهين \((a, b)\) و \((c, d)\) في فضاء ثنائي الأبعاد عن طريق ضرب مكونات كل منهما ثم جمع هذه المنتجات: \(a*c + b*d\) . يمكن أن يوفر المنتج النقطي معلومات حول الزاوية بين المتجهين. إذا كان حاصل الضرب النقطي صفرًا، تكون المتجهات متعامدة (أي بزاوية قائمة على بعضها البعض).
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يعد الضرب الاتجاهي عملية مفيدة أخرى تأخذ متجهين وتعيد متجهًا ثالثًا متعامدًا مع كلا المتجهين الأصليين. حجم المنتج الاتجاهي يعطي مساحة متوازي الأضلاع الممتد بين المتجهين. بالنسبة للمتجهين \((a, b, c)\) و \((d, e, f)\) ، فإن الضرب الاتجاهي هو متجه معطى بواسطة \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
المتجهات ضرورية في تمثيل الخطوط والمستويات في الهندسة. يمكن وصف الخط الموجود في الفضاء ثنائي الأبعاد بنقطة ومتجه اتجاه. يتم إعطاء معادلة الخط بواسطة \(r = a + tb\) ، حيث \(r\) هو متجه الموضع لأي نقطة على الخط، \(a\) هو متجه الموضع لنقطة معينة على الخط الخط، \(b\) هو متجه الاتجاه للخط، و \(t\) هو عددي يمكن أن يختلف.
وبالمثل، في الأبعاد الثلاثة، يمكن تمثيل المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي (متجه عمودي على المستوى). يتم إعطاء معادلة المستوى بواسطة \(n \cdot (r - a) = 0\) ، حيث \(n\) هو المتجه العادي، \(r\) هو متجه الموضع لأي نقطة على المستوى، و \(a\) هو متجه الموضع لنقطة معينة على المستوى.
المتجهات لها العديد من التطبيقات في مختلف المجالات. في الفيزياء، يتم استخدامها لوصف القوى والسرعات والتسارع. في رسومات الحاسوب، تساعد المتجهات في عرض النماذج ثلاثية الأبعاد ومعالجة الصور. في الملاحة، تعد المتجهات ضرورية لتخطيط الدورات التدريبية وفهم تأثيرات الرياح أو التيارات.
يعد فهم المتجهات والعمل معها من المهارات الأساسية في الرياضيات والفيزياء. إنها تتيح طريقة دقيقة وقوية لوصف العالم المادي والتلاعب به. تشكل مفاهيم الجمع والطرح والضرب العددي، بالإضافة إلى عمليات الضرب النقطي والتقاطعي، الأساس لمواضيع أكثر تقدمًا في حساب التفاضل والتكامل المتجه والجبر الخطي.
يقدم هذا الدرس المفاهيم الأساسية للمتجهات في الهندسة، بما في ذلك تمثيلها وعملياتها وتطبيقاتها. تمثل المتجهات أداة أساسية في وصف العالم رياضيًا، وتوفر إطارًا لفهم المشكلات وحلها بأبعاد متعددة. من خلال إتقان أساسيات الرياضيات المتجهة، يمكن للمرء الحصول على نظرة أعمق لسلوكيات وخصائص الأنظمة الفيزيائية والأشياء الهندسية.
