একটি ভেক্টর হল একটি গাণিতিক বস্তু যার একটি মাত্রা (বা দৈর্ঘ্য) এবং একটি দিক উভয়ই রয়েছে। ভেক্টরগুলি পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল এবং গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, বিশেষ করে জ্যামিতির ক্ষেত্রে। তারা আন্দোলন এবং শক্তির পরিপ্রেক্ষিতে আমাদের চারপাশের বিশ্বকে বুঝতে এবং বর্ণনা করতে সহায়তা করে। জ্যামিতিতে, ভেক্টরগুলি অবস্থান, স্থানচ্যুতি এবং এমনকি বস্তুর উপর কাজ করে এমন শক্তিকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে।
ভেক্টরগুলিকে বিভিন্ন উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে, তবে সবচেয়ে সাধারণ একটি হল স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে। একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানে, একটি ভেক্টরকে একটি জোড়া সংখ্যা \((x, y)\) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যা যথাক্রমে তার অনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাদানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই উপাদানগুলি ভেক্টরের দিক এবং মাত্রা নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর \((3, 4)\) অনুভূমিক দিকে 3 ইউনিট এবং উল্লম্ব দিকে 4 ইউনিট প্রসারিত করে। একটি ভেক্টরের মাত্রা বা দৈর্ঘ্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। একটি ভেক্টরের মাত্রা \((a, b)\) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
ত্রিমাত্রিক স্থানে, একটি ভেক্টরকে তিনটি স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, অনুভূমিক এবং উল্লম্বগুলির সাথে একটি গভীরতা উপাদান যোগ করে। এটি ত্রিমাত্রিক পরিবেশে চলাচলের প্রতিনিধিত্ব করার অনুমতি দেয়, যেমন ফ্লাইট পাথ বা গ্যাসের আচরণ।
ভেক্টরগুলির সাথে মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে একটি হল তাদের সংযোজন। যখন দুটি ভেক্টর যোগ করা হয়, তাদের উপাদান পৃথকভাবে যোগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরের যোগফল \((1, 2)\) এবং \((3, 4)\) ভেক্টর \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) এই অপারেশনটি প্রায়শই একটি ভেক্টরের লেজ অন্যটির মাথায় রেখে এবং মুক্ত লেজ থেকে মুক্ত মাথা পর্যন্ত একটি ভেক্টর অঙ্কন করে কল্পনা করা হয়। এটি টিপ-টু-টেল পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত। ভেক্টর সংযোজন পরিবর্তনশীল, যার অর্থ ভেক্টরের ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।
ভেক্টর বিয়োগকে বিপরীত দিক দিয়ে একটি ভেক্টর যোগ করার কথা ভাবা যেতে পারে। \((a, b)\) এবং \((c, d)\) দুটি ভেক্টরের মধ্যে পার্থক্য \((ac, bd)\) দ্বারা দেওয়া হয়।
একটি ভেক্টরকে একটি স্কেলার (একক সংখ্যা) দ্বারা গুণ করা যেতে পারে যাতে তার দিককে প্রভাবিত না করে তার মাত্রা পরিবর্তন করা যায়। যদি আমরা একটি ভেক্টর \((x, y)\) একটি স্কেলার \(k\) দ্বারা গুণ করি, ফলাফলটি একটি ভেক্টর \((kx, ky)\) । উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর \((2, 3)\) স্কেলার \(2\) দ্বারা গুণ করলে ভেক্টর \((4, 6)\) পাওয়া যায়। এই ক্রিয়াকলাপটি একটি ভেক্টরকে \(-1\) দ্বারা গুণ করে তার দিককে বিপরীত করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে।
ডট পণ্য হল একটি অপারেশন যা দুটি ভেক্টর নেয় এবং একটি একক সংখ্যা (একটি স্কেলার) প্রদান করে। দ্বি-মাত্রিক স্থানের দুটি ভেক্টর \((a, b)\) এবং \((c, d)\) এর ডট গুণফল তাদের নিজ নিজ উপাদানগুলিকে গুণ করে এবং তারপর সেই পণ্যগুলির সমষ্টি করে গণনা করা হয়: \(a*c + b*d\) । ডট পণ্য দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ সম্পর্কে তথ্য প্রদান করতে পারে। যদি বিন্দু গুণফল শূন্য হয়, ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল (অর্থাৎ, একে অপরের সমকোণে)।
ত্রিমাত্রিক স্পেসে, ক্রস প্রোডাক্ট হল আরেকটি দরকারী অপারেশন যা দুটি ভেক্টর নেয় এবং একটি তৃতীয় ভেক্টর ফেরত দেয় যা উভয় মূল ভেক্টরের সাথে লম্ব। ক্রস পণ্যের মাত্রা দুটি ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল দেয়। ভেক্টর \((a, b, c)\) এবং \((d, e, f)\) , ক্রস পণ্য হল একটি ভেক্টর যা \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) দ্বারা প্রদত্ত। \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\)
জ্যামিতিতে রেখা এবং সমতলকে উপস্থাপন করার জন্য ভেক্টর অপরিহার্য। দ্বি-মাত্রিক স্থানের একটি রেখা একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। রেখার সমীকরণটি \(r = a + tb\) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে \(r\) হল লাইনের যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(a\) হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। রেখা, \(b\) হল রেখার দিক ভেক্টর, এবং \(t\) হল একটি স্কেলার যা পরিবর্তিত হতে পারে।
একইভাবে, তিনটি মাত্রায়, একটি সমতলকে একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর (সমতলের লম্ব একটি ভেক্টর) ব্যবহার করে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সমতলের সমীকরণটি \(n \cdot (r - a) = 0\) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে \(n\) হল সাধারণ ভেক্টর, \(r\) হল সমতলের যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, এবং \(a\) হল সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর।
ভেক্টরের বিভিন্ন ক্ষেত্র জুড়ে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। পদার্থবিজ্ঞানে, এগুলি বল, বেগ এবং ত্বরণ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। কম্পিউটার গ্রাফিক্সে, ভেক্টর ত্রি-মাত্রিক মডেলের রেন্ডারিং এবং চিত্রের ম্যানিপুলেশনে সাহায্য করে। ন্যাভিগেশনে, কোর্স প্লট করার জন্য এবং বায়ু বা বর্তমান প্রভাব বোঝার জন্য ভেক্টর অপরিহার্য।
ভেক্টর বোঝা এবং কাজ করা গণিত এবং পদার্থবিদ্যার মৌলিক দক্ষতা। তারা একটি সুনির্দিষ্ট এবং শক্তিশালী উপায় বর্ণনা করার এবং ভৌত জগতের ম্যানিপুলেট করার অনুমতি দেয়। ভেক্টর যোগ, বিয়োগ, স্কেলার গুন, সেইসাথে ডট এবং ক্রস পণ্যের ক্রিয়াকলাপগুলির ধারণাগুলি ভেক্টর ক্যালকুলাস এবং রৈখিক বীজগণিতের আরও উন্নত বিষয়গুলির ভিত্তি তৈরি করে।
এই পাঠটি জ্যামিতিতে ভেক্টরের মৌলিক ধারণাগুলি, তাদের উপস্থাপনা, ক্রিয়াকলাপ এবং প্রয়োগ সহ প্রবর্তন করেছে। ভেক্টরগুলি গাণিতিকভাবে বিশ্বকে বর্ণনা করার একটি মূল হাতিয়ার, একাধিক মাত্রায় সমস্যাগুলি বোঝা এবং সমাধান করার জন্য একটি কাঠামো প্রদান করে। ভেক্টর গণিতের মূল বিষয়গুলি আয়ত্ত করার মাধ্যমে, কেউ ভৌত সিস্টেম এবং জ্যামিতিক বস্তুর আচরণ এবং বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে গভীর অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করতে পারে।
