بردار یک جسم ریاضی است که هم قدر (یا طول) و هم جهت دارد. بردارها در فیزیک، مهندسی و ریاضیات به ویژه در زمینه هندسه کاربرد فراوانی دارند. آنها به ما کمک می کنند تا دنیای اطراف خود را از نظر حرکت و نیرو درک و توصیف کنیم. در هندسه، بردارها می توانند موقعیت ها، جابجایی ها و حتی نیروهای وارد بر اجسام را نشان دهند.
بردارها را می توان به روش های مختلفی نشان داد، اما یکی از رایج ترین آنها استفاده از مختصات است. در یک فضای دو بعدی، یک بردار با یک جفت اعداد \((x, y)\) نشان داده می شود که به ترتیب با اجزای افقی و عمودی آن مطابقت دارند. این مولفه ها جهت و بزرگی بردار را نشان می دهند. به عنوان مثال، بردار \((3, 4)\) 3 واحد در جهت افقی و 4 واحد در جهت عمودی گسترش می یابد. قدر یا طول یک بردار را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کرد. بزرگی یک بردار \((a, b)\) با فرمول \(\sqrt{a^2 + b^2}\) به دست می‌آید.
در فضای سه بعدی، یک بردار با سه مختصات \((x, y, z)\) نشان داده می شود که یک مولفه عمق را به مولفه های افقی و عمودی اضافه می کند. این امکان نمایش حرکت در محیط های سه بعدی مانند مسیرهای پرواز یا رفتار گازها را فراهم می کند.
یکی از عملیات اساسی با بردارها جمع آنهاست. هنگامی که دو بردار اضافه می شوند، اجزای آنها به صورت جداگانه اضافه می شوند. به عنوان مثال، مجموع بردارهای \((1, 2)\) و \((3, 4)\) بردار \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) است. این عمل اغلب با قرار دادن دم یک بردار در سر بردار دیگر و رسم بردار از دم آزاد به سر آزاد تجسم می شود. این به عنوان روش نوک به دم شناخته می شود. جمع بردار جابجایی است، به این معنی که ترتیب بردارها بر نتیجه تأثیر نمی گذارد.
تفریق برداری را می توان به عنوان افزودن بردار با جهت مخالف در نظر گرفت. تفاوت بین دو بردار \((a, b)\) و \((c, d)\) با \((ac, bd)\) داده می شود.
یک بردار را می توان در یک اسکالر (یک عدد واحد) ضرب کرد تا قدر آن را بدون تأثیر بر جهت آن تغییر دهد. اگر یک بردار \((x, y)\) در یک اسکالر \(k\) ضرب کنیم، بردار \((kx, ky)\) می شود. به عنوان مثال، با ضرب بردار \((2, 3)\) در اسکالر \(2\) بردار \((4, 6)\) بدست می آید. این عملیات همچنین می تواند برای معکوس کردن جهت یک بردار با ضرب آن در \(-1\) استفاده شود.
حاصل ضرب نقطه ای عملیاتی است که دو بردار می گیرد و یک عدد واحد (یک اسکالر) را برمی گرداند. حاصل ضرب نقطه ای دو بردار \((a, b)\) و \((c, d)\) در فضای دو بعدی با ضرب مؤلفه های مربوطه آنها و سپس جمع آنها حاصل می شود: \(a*c + b*d\) . محصول نقطه می تواند اطلاعاتی در مورد زاویه بین دو بردار ارائه دهد. اگر حاصل ضرب نقطه ای صفر باشد، بردارها متعامد هستند (یعنی در یک زاویه قائمه نسبت به یکدیگر).
در فضای سه بعدی، ضرب ضربدر عملیات مفید دیگری است که دو بردار را می گیرد و بردار سومی را برمی گرداند که بر هر دو بردار اصلی عمود است. بزرگی حاصلضرب متقاطع مساحت متوازی الاضلاع را نشان می دهد که توسط دو بردار پوشانده شده است. برای بردارهای \((a, b, c)\) و \((d, e, f)\) , ضرب ضربدری برداری است که با \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
بردارها در نمایش خطوط و صفحات در هندسه ضروری هستند. یک خط در فضای دو بعدی را می توان با یک نقطه و یک بردار جهت توصیف کرد. معادله خط با \(r = a + tb\) داده می شود، که در آن \(r\) بردار موقعیت هر نقطه از خط است، \(a\) بردار موقعیت یک نقطه خاص در خط است. خط، \(b\) بردار جهت خط است و \(t\) یک اسکالر است که می تواند متفاوت باشد.
به طور مشابه، در سه بعد، یک صفحه را می توان با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی (بردار عمود بر صفحه) نشان داد. معادله صفحه با \(n \cdot (r - a) = 0\) به دست می‌آید، که \(n\) بردار عادی است، \(r\) بردار موقعیت هر نقطه از صفحه است. و \(a\) بردار موقعیت یک نقطه خاص در صفحه است.
بردارها کاربردهای متعددی در زمینه های مختلف دارند. در فیزیک از آنها برای توصیف نیروها، سرعت ها و شتاب ها استفاده می شود. در گرافیک کامپیوتری، وکتورها به ارائه مدل های سه بعدی و دستکاری تصاویر کمک می کنند. در ناوبری، بردارها برای ترسیم دوره ها و درک اثرات باد یا جریان ضروری هستند.
درک و کار با بردارها از مهارت های اساسی در ریاضیات و فیزیک است. آنها روشی دقیق و قدرتمند را برای توصیف و دستکاری دنیای فیزیکی فراهم می کنند. مفاهیم جمع بردار، تفریق، ضرب اسکالر، و همچنین عملیات نقطه و ضرب ضربدر، مبنایی برای مباحث پیشرفته تر در حساب برداری و جبر خطی است.
در این درس مفاهیم اولیه بردارها در هندسه شامل نمایش، عملیات و کاربردهای آنها معرفی شد. بردارها ابزاری کلیدی در توصیف ریاضی جهان هستند و چارچوبی برای درک و حل مسائل در ابعاد مختلف ارائه می‌دهند. با تسلط بر مبانی ریاضی بردار، می توان بینش عمیق تری نسبت به رفتارها و ویژگی های سیستم های فیزیکی و اجسام هندسی به دست آورد.
