वेक्टर एक गणितीय वस्तु है जिसमें परिमाण (या लंबाई) और दिशा दोनों होती है। भौतिकी, इंजीनियरिंग और गणित में वेक्टर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, खासकर ज्यामिति के क्षेत्र में। वे हमें गति और बलों के संदर्भ में हमारे आस-पास की दुनिया को समझने और उसका वर्णन करने में मदद करते हैं। ज्यामिति में, वेक्टर स्थिति, विस्थापन और यहां तक कि वस्तुओं पर कार्य करने वाले बलों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
सदिशों को कई तरीकों से दर्शाया जा सकता है, लेकिन सबसे आम तरीकों में से एक निर्देशांक का उपयोग करना है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, एक सदिश को संख्याओं के एक जोड़े \((x, y)\) द्वारा दर्शाया जाता है जो क्रमशः इसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों के अनुरूप होते हैं। ये घटक सदिश की दिशा और परिमाण को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, सदिश \((3, 4)\) क्षैतिज दिशा में 3 इकाइयों और ऊर्ध्वाधर दिशा में 4 इकाइयों तक फैला हुआ है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सदिश के परिमाण या लंबाई की गणना की जा सकती है। सदिश \((a, b)\) का परिमाण सूत्र \(\sqrt{a^2 + b^2}\) द्वारा दिया जाता है।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक वेक्टर को तीन निर्देशांक \((x, y, z)\) द्वारा दर्शाया जाता है, जो क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वाले में गहराई घटक जोड़ता है। यह तीन-आयामी वातावरण में आंदोलन के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जैसे कि उड़ान पथ या गैसों का व्यवहार।
सदिशों के साथ मूलभूत संचालनों में से एक उनका जोड़ है। जब दो सदिशों को जोड़ा जाता है, तो उनके घटकों को अलग-अलग जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, सदिशों \((1, 2)\) और \((3, 4)\) का योग सदिश \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) है। इस ऑपरेशन को अक्सर एक सदिश की पूंछ को दूसरे सदिश के सिर पर रखकर और मुक्त पूंछ से मुक्त सिर तक एक सदिश खींचकर देखा जाता है। इसे टिप-टू-टेल विधि के रूप में जाना जाता है। सदिश जोड़ क्रमविनिमेय है, जिसका अर्थ है कि सदिशों का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
वेक्टर घटाव को विपरीत दिशा वाले वेक्टर को जोड़ने के रूप में समझा जा सकता है। दो वेक्टर \((a, b)\) और \((c, d)\) के बीच का अंतर \((ac, bd)\) द्वारा दिया जाता है।
किसी सदिश को एक अदिश (एकल संख्या) से गुणा करके उसकी दिशा को प्रभावित किए बिना उसका परिमाण बदला जा सकता है। यदि हम सदिश \((x, y)\) अदिश \(k\) से गुणा करते हैं, तो परिणाम एक सदिश \((kx, ky)\) होता है। उदाहरण के लिए, सदिश \((2, 3)\) अदिश \(2\) से गुणा करने पर सदिश \((4, 6)\) प्राप्त होता है। इस ऑपरेशन का उपयोग किसी सदिश को \(-1\) से गुणा करके उसकी दिशा को उलटने के लिए भी किया जा सकता है।
डॉट उत्पाद एक ऐसा ऑपरेशन है जो दो सदिश लेता है और एक एकल संख्या (एक स्केलर) लौटाता है। दो आयामी अंतरिक्ष में दो सदिशों \((a, b)\) और \((c, d)\) का डॉट उत्पाद उनके संबंधित घटकों को गुणा करके और फिर उन उत्पादों को जोड़कर गणना की जाती है: \(a*c + b*d\) । डॉट उत्पाद दो सदिशों के बीच के कोण के बारे में जानकारी प्रदान कर सकता है। यदि डॉट उत्पाद शून्य है, तो सदिश ऑर्थोगोनल (यानी, एक दूसरे के समकोण पर) हैं।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, क्रॉस उत्पाद एक और उपयोगी ऑपरेशन है जो दो सदिश लेता है और एक तीसरा सदिश लौटाता है जो दोनों मूल सदिशों के लंबवत होता है। क्रॉस उत्पाद का परिमाण दो सदिशों द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है। सदिशों \((a, b, c)\) और \((d, e, f)\) के लिए, क्रॉस उत्पाद एक सदिश है \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति में रेखाओं और समतलों को दर्शाने के लिए सदिश आवश्यक हैं। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा को एक बिंदु और एक दिशा सदिश द्वारा वर्णित किया जा सकता है। रेखा का समीकरण \(r = a + tb\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ \(r\) रेखा पर किसी भी बिंदु का स्थिति सदिश है, \(a\) रेखा पर एक विशिष्ट बिंदु का स्थिति सदिश है, \(b\) रेखा का दिशा सदिश है, और \(t\) एक अदिश है जो भिन्न हो सकता है।
इसी तरह, तीन आयामों में, एक समतल को एक बिंदु और एक सामान्य सदिश (समतल के लंबवत एक सदिश) का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। समतल का समीकरण \(n \cdot (r - a) = 0\) द्वारा दिया गया है, जहाँ \(n\) सामान्य सदिश है, \(r\) समतल पर किसी भी बिंदु का स्थिति सदिश है, और \(a\) समतल पर एक विशिष्ट बिंदु का स्थिति सदिश है।
वेक्टर के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं। भौतिकी में, उनका उपयोग बलों, वेगों और त्वरणों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कंप्यूटर ग्राफिक्स में, वेक्टर तीन-आयामी मॉडल के प्रतिपादन और छवियों के हेरफेर में मदद करते हैं। नेविगेशन में, वेक्टर पाठ्यक्रम की योजना बनाने और हवा या वर्तमान प्रभावों को समझने के लिए आवश्यक हैं।
वेक्टर को समझना और उसके साथ काम करना गणित और भौतिकी में मूलभूत कौशल हैं। वे भौतिक दुनिया का वर्णन करने और उसमें हेरफेर करने के लिए एक सटीक और शक्तिशाली तरीका प्रदान करते हैं। वेक्टर जोड़, घटाव, स्केलर गुणन, साथ ही डॉट और क्रॉस उत्पाद के संचालन की अवधारणाएं वेक्टर कैलकुलस और रैखिक बीजगणित में अधिक उन्नत विषयों का आधार बनती हैं।
इस पाठ में ज्यामिति में सदिशों की मूल अवधारणाओं को पेश किया गया है, जिसमें उनका प्रतिनिधित्व, संचालन और अनुप्रयोग शामिल हैं। सदिश गणितीय रूप से दुनिया का वर्णन करने में एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं, जो कई आयामों में समस्याओं को समझने और हल करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करते हैं। वेक्टर गणित की मूल बातों में महारत हासिल करके, कोई व्यक्ति भौतिक प्रणालियों और ज्यामितीय वस्तुओं के व्यवहार और गुणों के बारे में गहरी जानकारी प्राप्त कर सकता है।
