Vektor je matematički objekt koji ima i veličinu (ili duljinu) i smjer. Vektori se naširoko koriste u fizici, inženjerstvu i matematici, posebice u području geometrije. Oni nam pomažu razumjeti i opisati svijet oko nas u smislu kretanja i sila. U geometriji, vektori mogu predstavljati položaje, pomake, pa čak i sile koje djeluju na objekte.
Vektori se mogu prikazati na nekoliko načina, ali jedan od najčešćih je korištenjem koordinata. U dvodimenzionalnom prostoru, vektor je predstavljen parom brojeva \((x, y)\) koji odgovaraju njegovoj horizontalnoj odnosno vertikalnoj komponenti. Ove komponente označavaju smjer i veličinu vektora. Na primjer, vektor \((3, 4)\) se proteže 3 jedinice u vodoravnom smjeru i 4 jedinice u okomitom smjeru. Veličina ili duljina vektora može se izračunati pomoću Pitagorinog teorema. Veličina vektora \((a, b)\) dana je formulom \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
U trodimenzionalnom prostoru, vektor je predstavljen s tri koordinate \((x, y, z)\) , dodajući komponentu dubine horizontalnoj i vertikalnoj. To omogućuje prikaz kretanja u trodimenzionalnim okruženjima, kao što su putanje leta ili ponašanje plinova.
Jedna od temeljnih operacija s vektorima je njihovo zbrajanje. Kada se dodaju dva vektora, njihove se komponente zbrajaju pojedinačno. Na primjer, zbroj vektora \((1, 2)\) i \((3, 4)\) je vektor \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Ova se operacija često vizualizira postavljanjem repa jednog vektora na čelo drugog i crtanjem vektora od slobodnog repa do slobodne glave. Ovo je poznato kao metoda od vrha do repa . Zbrajanje vektora je komutativno, što znači da redoslijed vektora ne utječe na rezultat.
Oduzimanje vektora može se smatrati dodavanjem vektora suprotnog smjera. Razlika između dva vektora \((a, b)\) i \((c, d)\) dana je s \((ac, bd)\) .
Vektor se može pomnožiti skalarom (jedan broj) kako bi se promijenila njegova veličina bez utjecaja na njegov smjer. Ako pomnožimo vektor \((x, y)\) sa skalarom \(k\) , rezultat je vektor \((kx, ky)\) . Na primjer, množenje vektora \((2, 3)\) sa skalarom \(2\) daje vektor \((4, 6)\) . Ova se operacija također može koristiti za okretanje smjera vektora množenjem s \(-1\) .
Točkasti umnožak je operacija koja uzima dva vektora i vraća jedan broj (skalar). Točkasti umnožak dvaju vektora \((a, b)\) i \((c, d)\) u dvodimenzionalnom prostoru izračunava se množenjem njihovih komponenti i zatim zbrajanjem tih umnožaka: \(a*c + b*d\) . Točkasti umnožak može pružiti informacije o kutu između dva vektora. Ako je točkasti umnožak jednak nuli, vektori su ortogonalni (tj. međusobno pod pravim kutom).
U trodimenzionalnom prostoru, križni umnožak je još jedna korisna operacija koja uzima dva vektora i vraća treći vektor koji je okomit na oba izvorna vektora. Veličina umnoška daje površinu paralelograma razapetu dvama vektorima. Za vektore \((a, b, c)\) i \((d, e, f)\) , križni umnožak je vektor dan s \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vektori su bitni za predstavljanje linija i ravnina u geometriji. Pravac u dvodimenzionalnom prostoru može se opisati točkom i vektorom smjera. Jednadžba pravca dana je izrazom \(r = a + tb\) , gdje je \(r\) vektor položaja bilo koje točke na pravcu, \(a\) je vektor položaja određene točke na pravac, \(b\) je vektor smjera pravca, a \(t\) je skalar koji može varirati.
Slično, u tri dimenzije, ravnina se može prikazati pomoću točke i normalnog vektora (vektora okomitog na ravninu). Jednadžba ravnine dana je izrazom \(n \cdot (r - a) = 0\) , gdje je \(n\) vektor normale, \(r\) vektor položaja bilo koje točke na ravnini, a \(a\) je vektor položaja određene točke na ravnini.
Vektori imaju brojne primjene u raznim područjima. U fizici se koriste za opisivanje sila, brzina i ubrzanja. U računalnoj grafici vektori pomažu u prikazivanju trodimenzionalnih modela i rukovanju slikama. U navigaciji, vektori su bitni za crtanje kurseva i razumijevanje utjecaja vjetra ili struje.
Razumijevanje i rad s vektorima temeljne su vještine u matematici i fizici. Omogućuju precizan i moćan način za opisivanje i manipuliranje fizičkim svijetom. Koncepti vektorskog zbrajanja, oduzimanja, skalarnog množenja, kao i operacije točkastog i križnog umnoška, čine osnovu za naprednije teme iz vektorskog računa i linearne algebre.
Ova lekcija uvela je osnovne koncepte vektora u geometriji, uključujući njihov prikaz, operacije i primjene. Vektori su ključni alat u matematičkom opisivanju svijeta, pružajući okvir za razumijevanje i rješavanje problema u više dimenzija. Savladavanjem osnova vektorske matematike može se steći dublji uvid u ponašanja i svojstva fizikalnih sustava i geometrijskih objekata.
