Vektor adalah objek matematika yang memiliki besaran (atau panjang) dan arah. Vektor banyak digunakan dalam bidang fisika, teknik, dan matematika, khususnya dalam bidang geometri. Mereka membantu kita memahami dan menggambarkan dunia di sekitar kita dalam kaitannya dengan pergerakan dan kekuatan. Dalam geometri, vektor dapat mewakili posisi, perpindahan, dan bahkan gaya yang bekerja pada suatu benda.
Vektor dapat direpresentasikan dalam beberapa cara, namun salah satu cara yang paling umum adalah dengan menggunakan koordinat. Dalam ruang dua dimensi, sebuah vektor diwakili oleh sepasang bilangan \((x, y)\) yang masing-masing bersesuaian dengan komponen horizontal dan vertikalnya. Komponen-komponen ini menunjukkan arah dan besarnya vektor. Misalnya, vektor \((3, 4)\) memanjang 3 satuan pada arah horizontal dan 4 satuan pada arah vertikal. Besaran atau panjang suatu vektor dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras. Besarnya suatu vektor \((a, b)\) diberikan oleh rumus \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
Dalam ruang tiga dimensi, sebuah vektor diwakili oleh tiga koordinat \((x, y, z)\) , menambahkan komponen kedalaman pada komponen horizontal dan vertikal. Hal ini memungkinkan representasi pergerakan dalam lingkungan tiga dimensi, seperti jalur penerbangan atau perilaku gas.
Salah satu operasi dasar dengan vektor adalah penjumlahannya. Ketika dua vektor dijumlahkan, komponen-komponennya dijumlahkan satu per satu. Misalnya, jumlah vektor \((1, 2)\) dan \((3, 4)\) adalah vektor \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Operasi ini sering divisualisasikan dengan menempatkan ekor suatu vektor di kepala vektor lainnya dan menggambar sebuah vektor dari ekor bebas ke kepala bebas. Hal ini dikenal dengan metode tip-to-tail . Penjumlahan vektor bersifat komutatif, artinya urutan vektor tidak mempengaruhi hasil.
Pengurangan vektor dapat diibaratkan sebagai penjumlahan suatu vektor dengan arah yang berlawanan. Selisih antara dua vektor \((a, b)\) dan \((c, d)\) diberikan oleh \((ac, bd)\) .
Suatu vektor dapat dikalikan dengan skalar (satu bilangan) untuk mengubah besarnya tanpa mempengaruhi arahnya. Jika kita mengalikan vektor \((x, y)\) dengan skalar \(k\) , hasilnya adalah vektor \((kx, ky)\) . Misalnya, mengalikan vektor \((2, 3)\) dengan skalar \(2\) menghasilkan vektor \((4, 6)\) . Operasi ini juga dapat digunakan untuk membalikkan arah vektor dengan mengalikannya dengan \(-1\) .
Perkalian titik adalah operasi yang mengambil dua vektor dan menghasilkan satu bilangan (skalar). Perkalian titik dua vektor \((a, b)\) dan \((c, d)\) dalam ruang dua dimensi dihitung dengan mengalikan masing-masing komponennya lalu menjumlahkan hasil kali tersebut: \(a*c + b*d\) . Perkalian titik dapat memberikan informasi tentang sudut antara kedua vektor. Jika perkalian titik adalah nol, vektor-vektornya ortogonal (yaitu tegak lurus satu sama lain).
Dalam ruang tiga dimensi, perkalian silang adalah operasi berguna lainnya yang mengambil dua vektor dan mengembalikan vektor ketiga yang tegak lurus terhadap kedua vektor aslinya. Besarnya hasil kali silang memberikan luas jajar genjang yang direntang oleh kedua vektor. Untuk vektor \((a, b, c)\) dan \((d, e, f)\) , hasil kali silangnya adalah vektor yang diberikan oleh \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vektor sangat penting dalam merepresentasikan garis dan bidang dalam geometri. Garis dalam ruang dua dimensi dapat digambarkan dengan sebuah titik dan vektor arah. Persamaan garis diberikan oleh \(r = a + tb\) , dengan \(r\) adalah vektor posisi suatu titik pada garis, \(a\) adalah vektor posisi suatu titik tertentu pada garis garis, \(b\) adalah vektor arah garis, dan \(t\) adalah skalar yang dapat berubah-ubah.
Demikian pula, dalam tiga dimensi, sebuah bidang dapat direpresentasikan menggunakan titik dan vektor normal (vektor yang tegak lurus bidang). Persamaan bidang diberikan oleh \(n \cdot (r - a) = 0\) , dengan \(n\) adalah vektor normal, \(r\) adalah vektor posisi titik mana pun pada bidang, dan \(a\) adalah vektor posisi suatu titik tertentu pada bidang.
Vektor memiliki banyak penerapan di berbagai bidang. Dalam fisika, mereka digunakan untuk menggambarkan gaya, kecepatan, dan percepatan. Dalam grafik komputer, vektor membantu dalam rendering model tiga dimensi dan manipulasi gambar. Dalam navigasi, vektor sangat penting untuk merencanakan jalur dan memahami efek angin atau arus.
Memahami dan bekerja dengan vektor adalah keterampilan dasar dalam matematika dan fisika. Mereka memungkinkan cara yang tepat dan kuat untuk menggambarkan dan memanipulasi dunia fisik. Konsep penjumlahan vektor, pengurangan, perkalian skalar, serta operasi perkalian titik dan silang, menjadi dasar untuk topik lanjutan dalam kalkulus vektor dan aljabar linier.
Pelajaran ini memperkenalkan konsep dasar vektor dalam geometri, termasuk representasi, operasi, dan penerapannya. Vektor adalah alat utama dalam mendeskripsikan dunia secara matematis, menyediakan kerangka kerja untuk memahami dan memecahkan masalah dalam berbagai dimensi. Dengan menguasai dasar-dasar matematika vektor, seseorang dapat memperoleh wawasan yang lebih mendalam tentang perilaku dan sifat sistem fisik dan objek geometris.
