ベクトルは、大きさ (または長さ) と方向の両方を持つ数学的なオブジェクトです。ベクトルは、物理学、工学、数学、特に幾何学の分野で広く使用されています。ベクトルは、動きと力の観点から私たちの周りの世界を理解し、説明するのに役立ちます。幾何学では、ベクトルは位置、変位、さらにはオブジェクトに作用する力を表すことができます。
ベクトルはいくつかの方法で表現できますが、最も一般的な方法の 1 つは座標を使用する方法です。2 次元空間では、ベクトルは、それぞれ水平方向と垂直方向の要素に対応する 2 つの数値\((x, y)\)で表現されます。これらの要素は、ベクトルの方向と大きさを示します。たとえば、ベクトル\((3, 4)\)は、水平方向に 3 単位、垂直方向に 4 単位伸びます。ベクトルの大きさまたは長さは、ピタゴラスの定理を使用して計算できます。ベクトル\((a, b)\)の大きさは、式\(\sqrt{a^2 + b^2}\)で表されます。
3 次元空間では、ベクトルは 3 つの座標\((x, y, z)\)で表され、水平方向と垂直方向の座標に奥行き成分が加わります。これにより、飛行経路やガスの挙動など、3 次元環境での動きを表現できます。
ベクトルの基本的な演算の 1 つは加算です。2 つのベクトルを加算する場合、その成分は個別に加算されます。たとえば、ベクトル\((1, 2)\)と\((3, 4)\)の和は、ベクトル\((1+3, 2+4) = (4, 6)\)です。この演算は、1 つのベクトルの末尾をもう 1 つのベクトルの先頭に置き、自由な末尾から自由な先頭にベクトルを描くことで視覚化されることがよくあります。これは、先端から末尾までの方法として知られています。ベクトルの加算は可換であり、つまり、ベクトルの順序は結果に影響しません。
ベクトルの減算は、反対方向のベクトルの加算と考えることができます。2 つのベクトル\((a, b)\)と\((c, d)\)の差は\((ac, bd)\)で表されます。
ベクトルにスカラー (単一の数値) を掛けると、方向に影響を与えずに大きさを変更できます。ベクトル\((x, y)\)にスカラー\(k\)を掛けると、結果はベクトル\((kx, ky)\)になります。たとえば、ベクトル\((2, 3)\)にスカラー\(2\)を掛けると、ベクトル\((4, 6)\)になります。この操作は、ベクトルに\(-1\)を掛けてベクトルの方向を反転するのにも使用できます。
ドット積は、 2 つのベクトルを受け取り、1 つの数値 (スカラー) を返す演算です。2 次元空間の 2 つのベクトル\((a, b)\)と\((c, d)\)のドット積は、それぞれの要素を乗算し、それらの積を合計することによって計算されます: \(a*c + b*d\) 。ドット積は、2 つのベクトル間の角度に関する情報を提供します。ドット積が 0 の場合、ベクトルは直交しています (つまり、互いに直角です)。
3 次元空間では、外積は2 つのベクトルを受け取り、元のベクトルの両方に垂直な 3 番目のベクトルを返す、もう 1 つの便利な演算です。外積の大きさは、2 つのベクトルが張る平行四辺形の面積を示します。ベクトル\((a, b, c)\)と\((d, e, f)\)の場合、外積は\((bf - ce, cd - af, ae - bd)\)で与えられるベクトルです。
ベクトルは、幾何学において線や平面を表現するのに不可欠です。2 次元空間の線は、点と方向ベクトルで表すことができます。線の方程式は\(r = a + tb\)で表されます。ここで、 \(r\)は線上の任意の点の位置ベクトル、 \(a\)は線上の特定の点の位置ベクトル、 \(b\)は線の方向ベクトル、 \(t\)は変化するスカラーです。
同様に、3 次元では、平面は点と法線ベクトル (平面に垂直なベクトル) を使用して表すことができます。平面の方程式は\(n \cdot (r - a) = 0\)で表されます。ここで、 \(n\)は法線ベクトル、 \(r\)平面上の任意の点の位置ベクトル、 \(a\)平面上の特定の点の位置ベクトルです。
ベクトルは、さまざまな分野で数多くの用途があります。物理学では、力、速度、加速度を表すために使用されます。コンピュータ グラフィックスでは、ベクトルは 3 次元モデルのレンダリングや画像の操作に役立ちます。航海では、ベクトルは進路を定めたり、風や流れの影響を理解したりするために不可欠です。
ベクトルを理解して操作することは、数学と物理学の基本的なスキルです。ベクトルは、物理世界を正確かつ強力に記述および操作する方法を提供します。ベクトルの加算、減算、スカラー乗算の概念、およびドット積とクロス積の演算は、ベクトル計算と線形代数のより高度なトピックの基礎となります。
このレッスンでは、幾何学におけるベクトルの基本概念、その表現、演算、応用について紹介しました。ベクトルは世界を数学的に記述するための重要なツールであり、多次元の問題を理解して解決するための枠組みを提供します。ベクトル数学の基礎を習得することで、物理システムや幾何学的オブジェクトの動作と特性についてより深い洞察を得ることができます。
