Вектор е математички објект кој има и големина (или должина) и насока. Векторите се широко користени во физиката, инженерството и математиката, особено во областа на геометријата. Тие ни помагаат да го разбереме и опишеме светот околу нас во смисла на движење и сили. Во геометријата, векторите можат да претставуваат позиции, поместувања, па дури и сили кои дејствуваат на објекти.
Векторите можат да се претстават на неколку начини, но еден од најчестите е со користење на координати. Во дводимензионален простор, векторот е претставен со пар броеви \((x, y)\) кои одговараат на неговите хоризонтални и вертикални компоненти, соодветно. Овие компоненти ја покажуваат насоката и големината на векторот. На пример, векторот \((3, 4)\) се протега 3 единици во хоризонтална насока и 4 единици во вертикална насока. Големината или должината на векторот може да се пресметаат со помош на Питагоровата теорема. Големината на вектор \((a, b)\) е дадена со формулата \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
Во тродимензионалниот простор, векторот е претставен со три координати \((x, y, z)\) , додавајќи длабинска компонента на хоризонталната и вертикалната. Ова овозможува претставување на движењето во тродимензионални средини, како што се патеките на летот или однесувањето на гасовите.
Една од основните операции со вектори е нивното собирање. Кога се додаваат два вектори, нивните компоненти се додаваат поединечно. На пример, збирот на векторите \((1, 2)\) и \((3, 4)\) е векторот \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Оваа операција често се визуелизира со поставување на опашката на едниот вектор на чело на другиот и цртање вектор од слободната опашка до слободната глава. Ова е познато како метод од врвот до опашката . Векторското собирање е комутативно, што значи дека редоследот на векторите не влијае на резултатот.
Векторското одземање може да се смета како додавање вектор со спротивна насока. Разликата помеѓу два вектори \((a, b)\) и \((c, d)\) е дадена со \((ac, bd)\) .
Векторот може да се помножи со скалар (еден број) за да се промени неговата големина без да се влијае на неговата насока. Ако помножиме вектор \((x, y)\) со скаларен \(k\) , резултатот е вектор \((kx, ky)\) . На пример, со множење на векторот \((2, 3)\) со скаларот \(2\) се добива векторот \((4, 6)\) . Оваа операција може да се користи и за промена на насоката на векторот со множење со \(-1\) .
Производот со точки е операција која зема два вектори и враќа еден број (скалар). Производот со точки на два вектори \((a, b)\) и \((c, d)\) во дводимензионален простор се пресметува со множење на нивните соодветни компоненти и потоа собирање на тие производи: \(a*c + b*d\) . Производот со точки може да обезбеди информации за аголот помеѓу двата вектори. Ако точкастиот производ е нула, векторите се ортогонални (т.е. под прав агол еден до друг).
Во тродимензионалниот простор, вкрстениот производ е уште една корисна операција која зема два вектори и враќа трет вектор кој е нормален на двата оригинални вектори. Големината на вкрстениот производ ја дава плоштината на паралелограмот опфатен со двата вектори. За векторите \((a, b, c)\) и \((d, e, f)\) , вкрстениот производ е вектор даден со \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Векторите се од суштинско значење за претставување на линии и рамнини во геометријата. Права во дводимензионален простор може да се опише со точка и вектор на насока. Равенката на правата е дадена со \(r = a + tb\) , каде што \(r\) е векторот на позицијата на која било точка на правата, \(a\) е векторот на позицијата на одредена точка на линијата, \(b\) е векторот на насоката на правата, а \(t\) е скалар кој може да варира.
Слично на тоа, во три димензии, рамнината може да се претстави со помош на точка и нормален вектор (вектор нормален на рамнината). Равенката на рамнината е дадена со \(n \cdot (r - a) = 0\) , каде што \(n\) е нормалниот вектор, \(r\) е векторот на позицијата на која било точка на рамнината, и \(a\) е векторот на положбата на одредена точка на рамнината.
Векторите имаат бројни примени на различни полиња. Во физиката, тие се користат за опишување на сили, брзини и забрзувања. Во компјутерската графика, векторите помагаат во рендерирање на тридимензионални модели и манипулација со слики. Во навигацијата, векторите се од суштинско значење за исцртување на курсеви и разбирање на ефектите од ветерот или струјата.
Разбирањето и работата со вектори се основни вештини во математиката и физиката. Тие овозможуваат прецизен и моќен начин да се опише и манипулира со физичкиот свет. Концептите на векторско собирање, одземање, скаларно множење, како и операциите на точка и вкрстен производ, ја формираат основата за понапредни теми во векторското сметање и линеарната алгебра.
Оваа лекција ги воведе основните концепти на вектори во геометријата, вклучувајќи го нивното претставување, операции и апликации. Векторите се клучна алатка за математички опишување на светот, обезбедувајќи рамка за разбирање и решавање проблеми во повеќе димензии. Со совладување на основите на векторската математика, може да се стекне подлабок увид во однесувањето и својствата на физичките системи и геометриските објекти.
