Вектор нь хэмжээ (эсвэл урт) болон чиглэлтэй математикийн объект юм. Векторыг физик, инженерчлэл, математик, ялангуяа геометрийн салбарт өргөн ашигладаг. Эдгээр нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг хөдөлгөөн, хүч чадлын үүднээс ойлгоход тусалдаг. Геометрийн хувьд векторууд нь байрлал, шилжилт, тэр ч байтугай объектод үйлчлэх хүчийг төлөөлдөг.
Векторуудыг хэд хэдэн аргаар дүрсэлж болох боловч хамгийн түгээмэл нь координатыг ашиглах явдал юм. Хоёр хэмжээст орон зайд вектор нь түүний хэвтээ ба босоо бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд тус тус тохирох \((x, y)\) хос тоогоор дүрслэгддэг. Эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь векторын чиглэл ба хэмжээг заана. Жишээлбэл, \((3, 4)\) вектор нь хэвтээ чиглэлд 3 нэгж, босоо чиглэлд 4 нэгж уртасдаг. Векторын хэмжээ эсвэл уртыг Пифагорын теоремыг ашиглан тооцоолж болно. \((a, b)\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\) томъёогоор тодорхойлно.
Гурван хэмжээст орон зайд векторыг гурван координатаар илэрхийлнэ \((x, y, z)\) , хэвтээ ба босоо координатууд дээр гүний бүрэлдэхүүнийг нэмнэ. Энэ нь нислэгийн зам, хийн үйл ажиллагаа гэх мэт гурван хэмжээст орчинд хөдөлгөөнийг дүрслэх боломжийг олгодог.
Векторуудтай хийх үндсэн үйлдлүүдийн нэг бол тэдгээрийг нэмэх явдал юм. Хоёр вектор нэмэхэд тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тус тусад нь нэмнэ. Жишээлбэл, \((1, 2)\) ба \((3, 4)\) векторуудын нийлбэр нь \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) вектор юм. Энэ үйлдлийг ихэвчлэн нэг векторын сүүлийг нөгөөгийнх нь толгойд байрлуулж, чөлөөт сүүлээс чөлөөт толгой руу вектор зурах замаар дүрсэлдэг. Үүнийг үзүүрээс сүүл хүртэлх арга гэж нэрлэдэг. Вектор нэмэх нь шилжих чадвартай бөгөөд векторуудын дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй гэсэн үг юм.
Вектор хасах үйлдлийг эсрэг чиглэлтэй вектор нэмэх гэж үзэж болно. \((a, b)\) ба \((c, d)\) хоёр векторын ялгааг \((ac, bd)\) өгөгдөнө.
Векторыг скаляраар (ганц тоогоор) үржүүлж, чиглэлийг нь өөрчлөхгүйгээр хэмжээг нь өөрчилж болно. Хэрэв \((x, y)\) векторыг \(k\) скаляраар үржүүлбэл үр дүн нь \((kx, ky)\) вектор болно. Жишээлбэл, \((2, 3)\) векторыг \(2\) скаляраар үржүүлэхэд \((4, 6)\) вектор гарна. Энэ үйлдлийг мөн векторын чиглэлийг \(-1\) -ээр үржүүлэх замаар өөрчлөхөд ашиглаж болно.
Цэгний үржвэр нь хоёр вектор авч, нэг тоо (скаляр) буцаадаг үйлдэл юм. Хоёр хэмжээст орон зай дахь \((a, b)\) ба \((c, d)\) векторуудын цэгэн үржвэрийг тэдгээрийн тус тусын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг үржүүлж, дараа нь тэдгээр үржвэрүүдийг нийлбэрээр тооцно: \(a*c + b*d\) . Цэгэн бүтээгдэхүүн нь хоёр векторын хоорондох өнцгийн талаарх мэдээллийг өгч чадна. Хэрэв цэгийн үржвэр нь тэг байвал векторууд нь ортогональ (өөрөөр хэлбэл, бие биентэйгээ зөв өнцгөөр) байна.
Гурван хэмжээст орон зайд хөндлөн үржвэр нь хоёр вектор авч, анхны векторуудын аль алинд нь перпендикуляр гурав дахь векторыг буцаадаг өөр нэг ашигтай үйлдэл юм. Хөндлөн үржвэрийн хэмжээ нь хоёр векторыг хамарсан параллелограммын талбайг өгдөг. \((a, b, c)\) ба \((d, e, f)\) векторуудын хувьд хөндлөн үржвэр нь \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) ээр өгөгдсөн вектор юм. \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Векторууд нь геометрийн шугам, хавтгайг илэрхийлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Хоёр хэмжээст орон зай дахь шугамыг цэг ба чиглэлийн вектороор дүрсэлж болно. Шугамын тэгшитгэлийг \(r = a + tb\) өгөгдсөн бөгөөд \(r\) нь шулуун дээрх дурын цэгийн байрлалын вектор, \(a\) шугам дээрх тодорхой цэгийн байрлалын вектор юм. шугам, \(b\) нь шугамын чиглэлийн вектор, \(t\) нь өөрчлөгдөж болох скаляр юм.
Үүний нэгэн адил гурван хэмжээст дээр цэг болон хэвийн вектор (хавтгайд перпендикуляр вектор) ашиглан хавтгайг дүрсэлж болно. Хавтгайн тэгшитгэлийг \(n \cdot (r - a) = 0\) өгөгдсөн бөгөөд энд \(n\) нь хэвийн вектор, \(r\) нь хавтгай дээрх дурын цэгийн байрлалын вектор, ба \(a\) нь хавтгай дээрх тодорхой цэгийн байрлалын вектор юм.
Векторууд янз бүрийн салбарт олон тооны хэрэглээтэй байдаг. Физикийн хувьд тэдгээрийг хүч, хурд, хурдатгалыг тодорхойлоход ашигладаг. Компьютерийн графикт векторууд нь гурван хэмжээст загвар гаргах, дүрсийг удирдахад тусалдаг. Навигацийн хувьд векторууд нь курс төлөвлөх, салхи эсвэл одоогийн нөлөөллийг ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай.
Векторуудыг ойлгох, ажиллах нь математик, физикийн үндсэн ур чадвар юм. Тэд физик ертөнцийг дүрслэх, удирдах нарийн бөгөөд хүчирхэг арга замыг олгодог. Вектор нэмэх, хасах, скаляр үржүүлэх, мөн цэг ба хөндлөн үржвэрийн үйлдлүүд гэх мэт ойлголтууд нь векторын тооцоолол, шугаман алгебрийн илүү дэвшилтэт сэдвүүдийн үндэс суурь болдог.
Энэ хичээлээр геометрийн векторын үндсэн ойлголтууд, тэдгээрийн дүрслэл, үйлдлүүд, хэрэглээ зэргийг танилцуулсан. Векторууд нь дэлхийг математикийн хувьд дүрслэх гол хэрэгсэл бөгөөд асуудлыг олон хэмжээстээр ойлгох, шийдвэрлэх тогтолцоог бүрдүүлдэг. Вектор математикийн үндсийг эзэмшсэнээр физик систем, геометрийн объектуудын зан байдал, шинж чанаруудын талаар илүү гүнзгий ойлголттой болно.
