भेक्टर एउटा गणितीय वस्तु हो जसको परिमाण (वा लम्बाइ) र दिशा दुवै हुन्छ। भेक्टरहरू भौतिकशास्त्र, इन्जिनियरिङ् र गणितमा विशेष गरी ज्यामितिको क्षेत्रमा व्यापक रूपमा प्रयोग गरिन्छ। तिनीहरूले हामीलाई आन्दोलन र बलहरूको सन्दर्भमा हाम्रो वरपरको संसार बुझ्न र वर्णन गर्न मद्दत गर्छन्। ज्यामितिमा, भेक्टरहरूले स्थान, विस्थापन, र वस्तुहरूमा कार्य गर्ने बलहरूलाई पनि प्रतिनिधित्व गर्न सक्छन्।
भेक्टरहरू धेरै तरिकामा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ, तर सबैभन्दा सामान्य मध्ये एक निर्देशांक प्रयोग गरेर हो। दुई-आयामी स्पेसमा, भेक्टरलाई सङ्ख्याहरूको जोडी \((x, y)\) द्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ जुन क्रमशः यसको तेर्सो र ठाडो अवयवहरूसँग मेल खान्छ। यी घटकहरूले भेक्टरको दिशा र परिमाणलाई संकेत गर्दछ। उदाहरणका लागि, भेक्टर \((3, 4)\) तेर्सो दिशामा 3 एकाइहरू र ठाडो दिशामा 4 एकाइहरू विस्तार गर्दछ। पाइथागोरियन प्रमेय प्रयोग गरेर भेक्टरको परिमाण वा लम्बाइ गणना गर्न सकिन्छ। भेक्टरको परिमाण \((a, b)\) सूत्र \(\sqrt{a^2 + b^2}\) द्वारा दिइएको छ।
त्रि-आयामिक स्पेसमा, वेक्टरलाई तीनवटा निर्देशांकहरू \((x, y, z)\) द्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ, क्षैतिज र ठाडोमा गहिराइको घटक थपेर। यसले त्रि-आयामी वातावरणमा आन्दोलनको प्रतिनिधित्वको लागि अनुमति दिन्छ, जस्तै उडान मार्ग वा ग्यासहरूको व्यवहार।
भेक्टरहरूसँगको आधारभूत कार्यहरू मध्ये एक तिनीहरूको थप हो। जब दुई भेक्टरहरू थपिन्छन्, तिनीहरूका कम्पोनेन्टहरू व्यक्तिगत रूपमा थपिन्छन्। उदाहरणका लागि, भेक्टरहरू \((1, 2)\) र \((3, 4)\) भेक्टर \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) हो। यो अपरेसन प्रायः एउटा भेक्टरको पुच्छरलाई अर्कोको टाउकोमा राखेर र मुक्त पुच्छरबाट मुक्त टाउकोमा भेक्टर कोरेर कल्पना गरिन्छ। यसलाई टिप-टु-टेल विधि भनिन्छ। भेक्टर जोड कम्युटेटिभ हो, यसको मतलब भेक्टरहरूको क्रमले परिणामलाई असर गर्दैन।
भेक्टर घटाउलाई विपरित दिशामा भेक्टर थप्ने रूपमा सोच्न सकिन्छ। दुई भेक्टरहरू बीचको भिन्नता \((a, b)\) र \((c, d)\) \((ac, bd)\) द्वारा दिइएको छ।
एक भेक्टरलाई यसको दिशालाई असर नगरी यसको परिमाण परिवर्तन गर्न स्केलर (एउटा संख्या) द्वारा गुणन गर्न सकिन्छ। यदि हामीले एउटा भेक्टर \((x, y)\) लाई स्केलर \(k\) ले गुणन गर्छौं भने परिणाम भेक्टर \((kx, ky)\) हुन्छ। उदाहरणका लागि, भेक्टर \((2, 3)\) लाई स्केलर \(2\) ले गुणन गर्दा भेक्टर \((4, 6)\) प्राप्त हुन्छ। यो अपरेसनलाई \(-1\) ले गुणन गरेर भेक्टरको दिशा उल्ट्याउन पनि प्रयोग गर्न सकिन्छ।
डट उत्पादन एक अपरेशन हो जसले दुई भेक्टरहरू लिन्छ र एकल संख्या (एक स्केलर) फर्काउँछ। दुई-आयामिक स्पेसमा दुई भेक्टरहरू \((a, b)\) र \((c, d)\) को डट गुणा तिनीहरूको सम्बन्धित घटकहरू गुणा गरेर गणना गरिन्छ र त्यसपछि ती उत्पादनहरू: \(a*c + b*d\) । डट उत्पादनले दुई भेक्टरहरू बीचको कोणको बारेमा जानकारी प्रदान गर्न सक्छ। यदि डट उत्पादन शून्य छ भने, भेक्टरहरू अर्थोगोनल हुन्छन् (अर्थात्, एक अर्काको दायाँ कोणमा)।
त्रि-आयामिक स्पेसमा, क्रस उत्पादन अर्को उपयोगी अपरेशन हो जसले दुईवटा भेक्टरहरू लिन्छ र तेस्रो भेक्टर फर्काउँछ जुन दुवै मूल भेक्टरहरूमा लम्ब हुन्छ। क्रस उत्पादनको परिमाणले दुई भेक्टरहरूद्वारा फैलिएको समानान्तर चतुर्भुजको क्षेत्रफल दिन्छ। भेक्टरहरू \((a, b, c)\) र \((d, e, f)\) , क्रस उत्पादन \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) द्वारा दिइएको भेक्टर हो। \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) ।
रेखाहरू र विमानहरूलाई ज्यामितिमा प्रतिनिधित्व गर्न भेक्टरहरू आवश्यक छन्। दुई-आयामी स्पेस मा एक रेखा एक बिन्दु र एक दिशा भेक्टर द्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ। रेखाको समीकरण \(r = a + tb\) द्वारा दिइएको छ, जहाँ \(r\) रेखाको कुनै पनि बिन्दुको स्थिति भेक्टर हो, \(a\) कुनै निश्चित बिन्दुको स्थिति भेक्टर हो। रेखा, \(b\) रेखाको दिशा भेक्टर हो, र \(t\) एक स्केलर हो जुन फरक हुन सक्छ।
त्यसै गरी, तीन आयामहरूमा, बिन्दु र सामान्य भेक्टर (प्लेनमा लम्बवत भेक्टर) प्रयोग गरेर प्लेनलाई प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ। विमानको समीकरण \(n \cdot (r - a) = 0\) द्वारा दिइएको छ, जहाँ \(n\) सामान्य भेक्टर हो, \(r\) विमानमा कुनै पनि बिन्दुको स्थिति भेक्टर हो, र \(a\) विमानमा कुनै खास बिन्दुको स्थिति भेक्टर हो।
भेक्टरहरूसँग विभिन्न क्षेत्रहरूमा धेरै अनुप्रयोगहरू छन्। भौतिकशास्त्रमा, तिनीहरू बल, वेग, र प्रवेगहरू वर्णन गर्न प्रयोग गरिन्छ। कम्प्युटर ग्राफिक्समा, भेक्टरहरूले त्रि-आयामी मोडेलको प्रतिपादन र छविहरूको हेरफेरमा मद्दत गर्दछ। नेभिगेसनमा, पाठ्यक्रमहरू प्लट गर्न र हावा वा वर्तमान प्रभावहरू बुझ्नका लागि भेक्टरहरू आवश्यक हुन्छन्।
भेक्टरहरूसँग बुझ्ने र काम गर्नु गणित र भौतिकशास्त्रमा आधारभूत सीपहरू हुन्। तिनीहरूले भौतिक संसारलाई वर्णन गर्न र हेरफेर गर्न सटीक र शक्तिशाली तरिकाको लागि अनुमति दिन्छ। भेक्टर जोड, घटाउ, स्केलर गुणन, साथसाथै डट र क्रस उत्पादनको सञ्चालनका अवधारणाहरूले भेक्टर क्यालकुलस र रैखिक बीजगणितमा थप उन्नत विषयहरूको लागि आधार बनाउँदछ।
यस पाठले ज्यामितिमा भेक्टरहरूको आधारभूत अवधारणाहरू प्रस्तुत गर्यो, तिनीहरूको प्रतिनिधित्व, सञ्चालन र अनुप्रयोगहरू सहित। भेक्टरहरू गणितीय रूपमा संसारको वर्णन गर्नको लागि एक प्रमुख उपकरण हो, धेरै आयामहरूमा समस्याहरू बुझ्न र समाधान गर्न फ्रेमवर्क प्रदान गर्दछ। भेक्टर गणितको आधारभूत कुराहरूमा महारत हासिल गरेर, व्यक्तिले भौतिक प्रणाली र ज्यामितीय वस्तुहरूको व्यवहार र गुणहरूमा गहिरो अन्तरदृष्टि प्राप्त गर्न सक्छ।
