Een vector is een wiskundig object dat zowel een grootte (of lengte) als een richting heeft. Vectoren worden veel gebruikt in de natuurkunde, techniek en wiskunde, vooral op het gebied van de meetkunde. Ze helpen ons de wereld om ons heen te begrijpen en te beschrijven in termen van beweging en krachten. In de meetkunde kunnen vectoren posities, verplaatsingen en zelfs krachten vertegenwoordigen die op objecten inwerken.
Vectoren kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, maar een van de meest voorkomende is door gebruik te maken van coördinaten. In een tweedimensionale ruimte wordt een vector weergegeven door een paar getallen \((x, y)\) die respectievelijk overeenkomen met de horizontale en verticale componenten ervan. Deze componenten geven de richting en grootte van de vector aan. De vector \((3, 4)\) strekt zich bijvoorbeeld 3 eenheden uit in horizontale richting en 4 eenheden in verticale richting. De grootte of lengte van een vector kan worden berekend met behulp van de stelling van Pythagoras. De grootte van een vector \((a, b)\) wordt gegeven door de formule \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
In de driedimensionale ruimte wordt een vector weergegeven door drie coördinaten \((x, y, z)\) , waardoor een dieptecomponent wordt toegevoegd aan de horizontale en verticale. Dit maakt de weergave van beweging in driedimensionale omgevingen mogelijk, zoals vliegroutes of het gedrag van gassen.
Een van de fundamentele bewerkingen met vectoren is hun optelling. Wanneer twee vectoren worden toegevoegd, worden hun componenten afzonderlijk toegevoegd. De som van de vectoren \((1, 2)\) en \((3, 4)\) is bijvoorbeeld de vector \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Deze operatie wordt vaak gevisualiseerd door de staart van de ene vector aan de kop van de andere te plaatsen en een vector van de vrije staart naar de vrije kop te tekenen. Dit staat bekend als de tip-to-tail-methode . Vectoroptelling is commutatief, wat betekent dat de volgorde van de vectoren het resultaat niet beïnvloedt.
Vectoraftrekking kan worden gezien als het optellen van een vector met de tegenovergestelde richting. Het verschil tussen twee vectoren \((a, b)\) en \((c, d)\) wordt gegeven door \((ac, bd)\) .
Een vector kan worden vermenigvuldigd met een scalair (een enkel getal) om de grootte ervan te veranderen zonder de richting ervan te beïnvloeden. Als we een vector \((x, y)\) vermenigvuldigen met een scalaire \(k\) , is het resultaat een vector \((kx, ky)\) . Als u bijvoorbeeld de vector \((2, 3)\) vermenigvuldigt met de scalaire \(2\) levert dit de vector \((4, 6)\) op. Deze bewerking kan ook worden gebruikt om de richting van een vector om te keren door deze te vermenigvuldigen met \(-1\) .
Het puntproduct is een bewerking waarbij twee vectoren nodig zijn en één enkel getal (een scalair) retourneert. Het puntproduct van twee vectoren \((a, b)\) en \((c, d)\) in de tweedimensionale ruimte wordt berekend door hun respectieve componenten te vermenigvuldigen en vervolgens deze producten op te tellen: \(a*c + b*d\) . Het puntproduct kan informatie verschaffen over de hoek tussen de twee vectoren. Als het puntproduct nul is, zijn de vectoren orthogonaal (dat wil zeggen, in een rechte hoek ten opzichte van elkaar).
In de driedimensionale ruimte is het kruisproduct een andere nuttige bewerking waarbij twee vectoren worden genomen en een derde vector wordt geretourneerd die loodrecht staat op beide oorspronkelijke vectoren. De grootte van het kruisproduct geeft de oppervlakte van het parallellogram weer die door de twee vectoren wordt opgespannen. Voor vectoren \((a, b, c)\) en \((d, e, f)\) is het kruisproduct een vector gegeven door \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vectoren zijn essentieel bij het weergeven van lijnen en vlakken in de geometrie. Een lijn in een tweedimensionale ruimte kan worden beschreven door een punt- en een richtingsvector. De vergelijking van de lijn wordt gegeven door \(r = a + tb\) , waarbij \(r\) de positievector is van elk punt op de lijn, \(a\) de positievector is van een specifiek punt op de lijn. lijn, \(b\) is de richtingsvector van de lijn, en \(t\) is een scalair die kan variëren.
Op dezelfde manier kan een vlak in drie dimensies worden weergegeven met behulp van een punt en een normaalvector (een vector loodrecht op het vlak). De vergelijking van het vlak wordt gegeven door \(n \cdot (r - a) = 0\) , waarbij \(n\) de normaalvector is, \(r\) de positievector is van elk punt op het vlak, en \(a\) is de positievector van een specifiek punt in het vlak.
Vectoren hebben talloze toepassingen op verschillende gebieden. In de natuurkunde worden ze gebruikt om krachten, snelheden en versnellingen te beschrijven. In computergraphics helpen vectoren bij het weergeven van driedimensionale modellen en het manipuleren van afbeeldingen. Bij navigatie zijn vectoren essentieel voor het uitzetten van koersen en het begrijpen van wind- en stromingseffecten.
Het begrijpen van en werken met vectoren zijn fundamentele vaardigheden in de wiskunde en natuurkunde. Ze maken een precieze en krachtige manier mogelijk om de fysieke wereld te beschrijven en te manipuleren. De concepten van vectoroptelling, aftrekking, scalaire vermenigvuldiging, evenals de bewerkingen van punt- en kruisproduct, vormen de basis voor meer geavanceerde onderwerpen in vectorrekening en lineaire algebra.
Deze les introduceerde de basisconcepten van vectoren in de geometrie, inclusief hun representatie, bewerkingen en toepassingen. Vectoren zijn een belangrijk hulpmiddel bij het wiskundig beschrijven van de wereld en bieden een raamwerk om problemen in meerdere dimensies te begrijpen en op te lossen. Door de basisprincipes van vectorwiskunde onder de knie te krijgen, kan men een dieper inzicht krijgen in het gedrag en de eigenschappen van fysieke systemen en geometrische objecten.
