Një vektor është një objekt matematikor që ka një madhësi (ose gjatësi) dhe një drejtim. Vektorët përdoren gjerësisht në fizikë, inxhinieri dhe matematikë, veçanërisht në fushën e gjeometrisë. Ato na ndihmojnë të kuptojmë dhe përshkruajmë botën përreth nesh për sa i përket lëvizjes dhe forcave. Në gjeometri, vektorët mund të përfaqësojnë pozicionet, zhvendosjet dhe madje edhe forcat që veprojnë në objekte.
Vektorët mund të përfaqësohen në disa mënyra, por një nga më të zakonshmet është duke përdorur koordinatat. Në një hapësirë dydimensionale, një vektor përfaqësohet nga një çift numrash \((x, y)\) të cilët korrespondojnë me përbërësit e tij horizontal dhe vertikal, përkatësisht. Këta komponentë tregojnë drejtimin dhe madhësinë e vektorit. Për shembull, vektori \((3, 4)\) shtrihet 3 njësi në drejtimin horizontal dhe 4 njësi në drejtimin vertikal. Madhësia ose gjatësia e një vektori mund të llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës. Madhësia e një vektori \((a, b)\) jepet me formulën \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
Në hapësirën tre-dimensionale, një vektor përfaqësohet nga tre koordinata \((x, y, z)\) , duke shtuar një komponent thellësi në ato horizontale dhe vertikale. Kjo lejon paraqitjen e lëvizjes në mjedise tre-dimensionale, të tilla si shtigjet e fluturimit ose sjellja e gazeve.
Një nga veprimet themelore me vektorët është mbledhja e tyre. Kur shtohen dy vektorë, përbërësit e tyre shtohen individualisht. Për shembull, shuma e vektorëve \((1, 2)\) dhe \((3, 4)\) është vektori \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Ky operacion shpesh vizualizohet duke vendosur bishtin e njërit vektor në krye të tjetrit dhe duke tërhequr një vektor nga bishti i lirë në kokën e lirë. Kjo njihet si metoda nga maja në bisht . Shtimi i vektorit është komutativ, që do të thotë se rendi i vektorëve nuk ndikon në rezultat.
Zbritja e vektorit mund të mendohet si shtimi i një vektori me drejtim të kundërt. Dallimi midis dy vektorëve \((a, b)\) dhe \((c, d)\) jepet nga \((ac, bd)\) .
Një vektor mund të shumëzohet me një skalar (një numër të vetëm) për të ndryshuar madhësinë e tij pa ndikuar në drejtimin e tij. Nëse shumëzojmë një vektor \((x, y)\) me një skalar \(k\) , rezultati është një vektor \((kx, ky)\) . Për shembull, duke shumëzuar vektorin \((2, 3)\) me skalarin \(2\) jep vektorin \((4, 6)\) . Ky operacion mund të përdoret gjithashtu për të ndryshuar drejtimin e një vektori duke e shumëzuar atë me \(-1\) .
Produkti me pika është një operacion që merr dy vektorë dhe kthen një numër të vetëm (një skalar). Prodhimi me pika i dy vektorëve \((a, b)\) dhe \((c, d)\) në hapësirën dydimensionale llogaritet duke shumëzuar përbërësit e tyre përkatës dhe më pas duke mbledhur ato produkte: \(a*c + b*d\) . Produkti me pika mund të japë informacion rreth këndit midis dy vektorëve. Nëse produkti me pika është zero, vektorët janë ortogonalë (dmth. në një kënd të drejtë me njëri-tjetrin).
Në hapësirën tre-dimensionale, produkti kryq është një tjetër operacion i dobishëm që merr dy vektorë dhe kthen një vektor të tretë që është pingul me të dy vektorët origjinal. Madhësia e prodhimit kryq jep sipërfaqen e paralelogramit të shtrirë nga dy vektorët. Për vektorët \((a, b, c)\) dhe \((d, e, f)\) , prodhimi kryq është një vektor i dhënë nga \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vektorët janë thelbësorë në paraqitjen e vijave dhe planeve në gjeometri. Një vijë në hapësirën dy-dimensionale mund të përshkruhet nga një pikë dhe një vektor drejtimi. Ekuacioni i drejtëzës jepet nga \(r = a + tb\) , ku \(r\) është vektori i pozicionit të çdo pike në vijë, \(a\) është vektori i pozicionit të një pike specifike në vija, \(b\) është vektori i drejtimit të vijës, dhe \(t\) është një skalar që mund të ndryshojë.
Në mënyrë të ngjashme, në tre dimensione, një plan mund të përfaqësohet duke përdorur një pikë dhe një vektor normal (një vektor pingul me rrafshin). Ekuacioni i rrafshit jepet nga \(n \cdot (r - a) = 0\) , ku \(n\) është vektori normal, \(r\) është vektori i pozicionit të çdo pike në plan, dhe \(a\) është vektori i pozicionit të një pike specifike në plan.
Vektorët kanë aplikime të shumta në fusha të ndryshme. Në fizikë, ato përdoren për të përshkruar forcat, shpejtësitë dhe nxitimet. Në grafikën kompjuterike, vektorët ndihmojnë në paraqitjen e modeleve tredimensionale dhe manipulimin e imazheve. Në navigacion, vektorët janë thelbësorë për hartimin e kurseve dhe për të kuptuar efektet e erës ose të rrymës.
Të kuptuarit dhe puna me vektorët janë aftësi themelore në matematikë dhe fizikë. Ato lejojnë një mënyrë të saktë dhe të fuqishme për të përshkruar dhe manipuluar botën fizike. Konceptet e mbledhjes së vektorit, zbritjes, shumëzimit skalar, si dhe veprimet e produktit të pikës dhe të kryqëzuar, përbëjnë bazën për tema më të avancuara në llogaritjen vektoriale dhe algjebrën lineare.
Ky mësim prezantoi konceptet bazë të vektorëve në gjeometri, duke përfshirë paraqitjen, veprimet dhe aplikimet e tyre. Vektorët janë një mjet kyç në përshkrimin matematikor të botës, duke ofruar një kornizë për të kuptuar dhe zgjidhur problemet në dimensione të shumta. Duke zotëruar bazat e matematikës vektoriale, mund të fitohet një pasqyrë më e thellë në sjelljet dhe vetitë e sistemeve fizike dhe objekteve gjeometrike.
