Vekta ni kitu cha hisabati ambacho kina ukubwa (au urefu) na mwelekeo. Vekta hutumiwa sana katika fizikia, uhandisi, na hisabati, haswa katika uwanja wa jiometri. Wanatusaidia kuelewa na kuelezea ulimwengu unaotuzunguka kwa suala la harakati na nguvu. Katika jiometri, vekta zinaweza kuwakilisha nafasi, uhamishaji, na hata nguvu zinazofanya kazi kwenye vitu.
Vekta zinaweza kuwakilishwa kwa njia kadhaa, lakini moja ya kawaida ni kwa kutumia kuratibu. Katika nafasi mbili-dimensional, vector inawakilishwa na jozi ya namba \((x, y)\) ambayo inalingana na vipengele vyake vya usawa na vya wima, kwa mtiririko huo. Vipengele hivi vinaonyesha mwelekeo na ukubwa wa vector. Kwa mfano, vekta \((3, 4)\) huongeza vitengo 3 katika mwelekeo mlalo na vitengo 4 katika mwelekeo wima. Ukubwa au urefu wa vekta unaweza kukokotwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean. Ukubwa wa vekta \((a, b)\) hutolewa kwa fomula \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
Katika nafasi ya tatu-dimensional, vector inawakilishwa na kuratibu tatu \((x, y, z)\) , na kuongeza sehemu ya kina kwa wale walio na usawa na wima. Hii inaruhusu uwakilishi wa harakati katika mazingira ya pande tatu, kama vile njia za ndege au tabia ya gesi.
Moja ya shughuli za kimsingi na vekta ni nyongeza yao. Wakati vekta mbili zinaongezwa, vipengele vyao huongezwa kila mmoja. Kwa mfano, jumla ya vekta \((1, 2)\) na \((3, 4)\) ni vekta \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Operesheni hii mara nyingi inaonekana kwa kuweka mkia wa vector moja kwenye kichwa cha nyingine na kuchora vector kutoka mkia wa bure hadi kichwa cha bure. Hii inajulikana kama mbinu ya ncha-kwa-mkia . Nyongeza ya vekta ni ya kubadilisha, ikimaanisha kuwa mpangilio wa vekta hauathiri matokeo.
Utoaji wa vekta unaweza kuzingatiwa kama kuongeza vekta iliyo na mwelekeo tofauti. Tofauti kati ya vekta mbili \((a, b)\) na \((c, d)\) imetolewa na \((ac, bd)\) .
Vekta inaweza kuzidishwa na scalar (namba moja) ili kubadilisha ukubwa wake bila kuathiri mwelekeo wake. Ikiwa tutazidisha vekta \((x, y)\) kwa scalar \(k\) , matokeo yake ni vekta \((kx, ky)\) . Kwa mfano, kuzidisha vekta \((2, 3)\) kwa scalar \(2\) hutoa vekta \((4, 6)\) . Operesheni hii pia inaweza kutumika kubadili mwelekeo wa vekta kwa kuizidisha kwa \(-1\) .
Bidhaa ya nukta ni operesheni ambayo inachukua vekta mbili na kurudisha nambari moja (scalar). Bidhaa ya nukta ya vivekta viwili \((a, b)\) na \((c, d)\) katika nafasi ya pande mbili hukokotolewa kwa kuzidisha viambajengo vyao husika na kisha kujumlisha bidhaa hizo: \(a*c + b*d\) . Bidhaa ya nukta inaweza kutoa taarifa kuhusu pembe kati ya vekta mbili. Ikiwa bidhaa ya nukta ni sifuri, vekta ni za orthogonal (yaani, kwa pembe ya kulia kwa kila mmoja).
Katika nafasi ya pande tatu, bidhaa ya msalaba ni operesheni nyingine muhimu ambayo inachukua vekta mbili na kurudisha vekta ya tatu ambayo ni ya kawaida kwa vekta zote mbili za asili. Ukubwa wa bidhaa ya msalaba hutoa eneo la parallelogram iliyowekwa na vectors mbili. Kwa vekta \((a, b, c)\) na \((d, e, f)\) , bidhaa mtambuka ni vekta iliyotolewa na \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vekta ni muhimu katika kuwakilisha mistari na ndege katika jiometri. Mstari katika nafasi mbili-dimensional inaweza kuelezewa na uhakika na vector ya mwelekeo. Equation ya mstari imetolewa na \(r = a + tb\) , ambapo \(r\) ni vekta ya nafasi ya sehemu yoyote kwenye mstari, \(a\) ni vekta ya nafasi ya sehemu maalum kwenye mstari. line, \(b\) ni kivekta cha mwelekeo wa mstari, na \(t\) ni kombora ambalo linaweza kutofautiana.
Vile vile, katika vipimo vitatu, ndege inaweza kuwakilishwa kwa kutumia uhakika na vector ya kawaida (vector perpendicular kwa ndege). Equation ya ndege inatolewa na \(n \cdot (r - a) = 0\) , ambapo \(n\) ni vector ya kawaida, \(r\) ni vector ya nafasi ya hatua yoyote kwenye ndege, na \(a\) ni vekta ya nafasi ya sehemu maalum kwenye ndege.
Vekta zina matumizi mengi katika nyanja mbalimbali. Katika fizikia, hutumiwa kuelezea nguvu, kasi, na kuongeza kasi. Katika michoro za kompyuta, vekta husaidia katika utoaji wa mifano ya pande tatu na upotoshaji wa picha. Katika urambazaji, vekta ni muhimu kwa kupanga kozi na kuelewa athari za upepo au za sasa.
Kuelewa na kufanya kazi na vekta ni ujuzi wa kimsingi katika hisabati na fizikia. Zinaruhusu njia sahihi na yenye nguvu ya kuelezea na kuendesha ulimwengu wa kimwili. Dhana za kuongeza vekta, kutoa, kuzidisha kwa scalar, na vile vile utendakazi wa nukta na bidhaa mtambuka, huunda msingi wa mada za juu zaidi katika calculus ya vekta na aljebra ya mstari.
Somo hili lilianzisha dhana za kimsingi za vekta katika jiometri, ikijumuisha uwakilishi wao, utendakazi, na matumizi. Vekta ni chombo muhimu katika kuelezea ulimwengu kihisabati, kutoa mfumo wa kuelewa na kutatua matatizo katika vipimo vingi. Kwa kusimamia misingi ya hesabu ya vekta, mtu anaweza kupata ufahamu wa kina juu ya tabia na mali ya mifumo ya kimwili na vitu vya kijiometri.
