เวกเตอร์ เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีทั้งขนาด (หรือความยาว) และทิศทาง เวกเตอร์ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาเรขาคณิต สิ่งเหล่านี้ช่วยให้เราเข้าใจและอธิบายโลกรอบตัวเราในแง่ของการเคลื่อนไหวและพลัง ในเรขาคณิต เวกเตอร์สามารถแสดงตำแหน่ง การกระจัด และแม้กระทั่งแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เวกเตอร์สามารถแสดงได้หลายวิธี แต่วิธีหนึ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการใช้พิกัด ในปริภูมิสองมิติ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวเลขคู่หนึ่ง \((x, y)\) ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งตามลำดับ ส่วนประกอบเหล่านี้ระบุทิศทางและขนาดของเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ \((3, 4)\) ขยาย 3 หน่วยในทิศทางแนวนอน และ 4 หน่วยในทิศทางแนวตั้ง ขนาดหรือความยาวของเวกเตอร์สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขนาดของเวกเตอร์ \((a, b)\) กำหนดโดยสูตร \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
ในปริภูมิสามมิติ เวกเตอร์จะแสดงด้วยพิกัดสามพิกัด \((x, y, z)\) โดยเพิ่มองค์ประกอบเชิงลึกให้กับพิกัดแนวนอนและแนวตั้ง ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงการเคลื่อนไหวในสภาพแวดล้อมสามมิติ เช่น เส้นทางการบินหรือพฤติกรรมของก๊าซ
การดำเนินการพื้นฐานอย่างหนึ่งกับเวกเตอร์คือการบวก เมื่อเพิ่มเวกเตอร์สองตัว ส่วนประกอบของพวกมันจะถูกเพิ่มแยกกัน ตัวอย่างเช่น ผลรวมของเวกเตอร์ \((1, 2)\) และ \((3, 4)\) คือเวกเตอร์ \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) การดำเนินการนี้มักจะมองเห็นได้ด้วยการวางส่วนหางของเวกเตอร์ตัวหนึ่งไว้ที่ส่วนหัวของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง แล้ววาดเวกเตอร์จากส่วนหางที่ว่างไปยังหัวที่ว่าง สิ่งนี้เรียกว่า วิธีการแบบปลายต่อหาง การบวกเวกเตอร์เป็นแบบสับเปลี่ยน ซึ่งหมายความว่าลำดับของเวกเตอร์ไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์
การลบเวกเตอร์ถือได้ว่าเป็นการบวกเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว \((a, b)\) และ \((c, d)\) ได้รับจาก \((ac, bd)\)
เวกเตอร์สามารถคูณด้วยสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) เพื่อเปลี่ยนขนาดโดยไม่กระทบต่อทิศทาง ถ้าเราคูณเวกเตอร์ \((x, y)\) ด้วยสเกลาร์ \(k\) ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ \((kx, ky)\) ตัวอย่างเช่น การคูณเวกเตอร์ \((2, 3)\) ด้วยสเกลาร์ \(2\) จะทำให้ได้เวกเตอร์ \((4, 6)\) การดำเนินการนี้ยังสามารถใช้เพื่อกลับทิศทางของเวกเตอร์ด้วยการคูณด้วย \(-1\)
ผลิตภัณฑ์ดอท คือการดำเนินการที่รับเวกเตอร์สองตัวและส่งกลับตัวเลขตัวเดียว (สเกลาร์) ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว \((a, b)\) และ \((c, d)\) ในปริภูมิสองมิติคำนวณโดยการคูณส่วนประกอบตามลำดับแล้วรวมผลคูณเหล่านั้น: \(a*c + b*d\) . ผลิตภัณฑ์ดอทสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองได้ ถ้าผลคูณดอทเป็นศูนย์ เวกเตอร์จะตั้งฉาก (กล่าวคือ ทำมุมฉากซึ่งกันและกัน)
ในปริภูมิสามมิติ ผลคูณไขว้ เป็นการดำเนินการที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งซึ่งรับเวกเตอร์สองตัวและส่งกลับเวกเตอร์ตัวที่สามที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมทั้งสองตัว ขนาดของผลคูณไขว้จะให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทอดโดยเวกเตอร์สองตัว สำหรับเวกเตอร์ \((a, b, c)\) และ \((d, e, f)\) ผลคูณไขว้คือเวกเตอร์ที่กำหนดโดย \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
เวกเตอร์มีความสำคัญในการแสดงเส้นและระนาบในเรขาคณิต เส้นในปริภูมิสองมิติสามารถอธิบายได้ด้วยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง สมการของเส้นนี้กำหนดโดย \(r = a + tb\) โดยที่ \(r\) คือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดใดๆ บนเส้นตรง \(a\) คือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดเฉพาะบนเส้นตรง เส้นตรง \(b\) คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง และ \(t\) เป็นสเกลาร์ที่สามารถแปรผันได้
ในทำนองเดียวกัน ในสามมิติ ระนาบสามารถแสดงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติ (เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ) สมการของระนาบกำหนดโดย \(n \cdot (r - a) = 0\) โดยที่ \(n\) คือเวกเตอร์ปกติ \(r\) คือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดใดๆ บนระนาบ และ \(a\) คือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ
เวกเตอร์มีการใช้งานมากมายในสาขาต่างๆ ในวิชาฟิสิกส์ ใช้เพื่ออธิบายแรง ความเร็ว และความเร่ง ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เวกเตอร์ช่วยในการเรนเดอร์โมเดลสามมิติและการปรับแต่งรูปภาพ ในการนำทาง เวกเตอร์มีความจำเป็นสำหรับการวางแผนเส้นทางและการทำความเข้าใจผลกระทบของลมหรือกระแสน้ำ
การทำความเข้าใจและการทำงานกับเวกเตอร์เป็นทักษะพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ช่วยให้มีวิธีที่แม่นยำและทรงพลังในการอธิบายและจัดการโลกทางกายภาพ แนวคิดเรื่องการบวก ลบ การคูณสเกลาร์ รวมถึงการดำเนินการของดอทและครอสโปรดัค ถือเป็นพื้นฐานสำหรับหัวข้อขั้นสูงในแคลคูลัสเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
บทเรียนนี้แนะนำแนวคิดพื้นฐานของเวกเตอร์ในเรขาคณิต รวมถึงการแสดง การดำเนินการ และการประยุกต์ เวกเตอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการอธิบายโลกทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นกรอบในการทำความเข้าใจและแก้ไขปัญหาในหลายมิติ เมื่อเชี่ยวชาญพื้นฐานของคณิตศาสตร์เวกเตอร์ เราจะสามารถเข้าใจพฤติกรรมและคุณสมบัติของระบบทางกายภาพและวัตถุทางเรขาคณิตได้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น
