Ang vector ay isang mathematical object na may parehong magnitude (o haba) at direksyon. Ang mga vector ay malawakang ginagamit sa pisika, inhinyero, at matematika, lalo na sa larangan ng geometry. Tinutulungan nila tayong maunawaan at ilarawan ang mundo sa paligid natin sa mga tuntunin ng paggalaw at pwersa. Sa geometry, ang mga vector ay maaaring kumatawan sa mga posisyon, mga displacement, at kahit na mga puwersa na kumikilos sa mga bagay.
Ang mga vector ay maaaring katawanin sa maraming paraan, ngunit ang isa sa pinakakaraniwan ay sa pamamagitan ng paggamit ng mga coordinate. Sa isang dalawang-dimensional na espasyo, ang isang vector ay kinakatawan ng isang pares ng mga numero \((x, y)\) na tumutugma sa mga pahalang at patayong bahagi nito, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga sangkap na ito ay nagpapahiwatig ng direksyon at magnitude ng vector. Halimbawa, ang vector \((3, 4)\) ay umaabot ng 3 unit sa pahalang na direksyon at 4 na unit sa vertical na direksyon. Ang magnitude o haba ng isang vector ay maaaring kalkulahin gamit ang Pythagorean theorem. Ang magnitude ng isang vector \((a, b)\) ay ibinibigay ng formula \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang isang vector ay kinakatawan ng tatlong mga coordinate \((x, y, z)\) , pagdaragdag ng isang depth na bahagi sa mga pahalang at patayo. Nagbibigay-daan ito para sa representasyon ng paggalaw sa mga three-dimensional na kapaligiran, tulad ng mga landas ng paglipad o pag-uugali ng mga gas.
Ang isa sa mga pangunahing operasyon na may mga vector ay ang kanilang pagdaragdag. Kapag ang dalawang vector ay idinagdag, ang kanilang mga bahagi ay idinaragdag nang isa-isa. Halimbawa, ang kabuuan ng mga vectors \((1, 2)\) at \((3, 4)\) ay ang vector \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Ang operasyong ito ay madalas na nakikita sa pamamagitan ng paglalagay ng buntot ng isang vector sa ulo ng isa at pagguhit ng isang vector mula sa libreng buntot hanggang sa libreng ulo. Ito ay kilala bilang ang tip-to-tail method . Ang pagdaragdag ng vector ay commutative, ibig sabihin ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay hindi nakakaapekto sa resulta.
Ang pagbabawas ng vector ay maaaring isipin bilang pagdaragdag ng isang vector na may kabaligtaran na direksyon. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang vectors \((a, b)\) at \((c, d)\) ay ibinibigay ng \((ac, bd)\) .
Ang isang vector ay maaaring i-multiply sa isang scalar (isang solong numero) upang baguhin ang magnitude nito nang hindi naaapektuhan ang direksyon nito. Kung i-multiply natin ang isang vector \((x, y)\) sa isang scalar \(k\) , ang resulta ay isang vector \((kx, ky)\) . Halimbawa, ang pagpaparami ng vector \((2, 3)\) sa scalar \(2\) ay magbubunga ng vector \((4, 6)\) . Magagamit din ang operasyong ito upang baligtarin ang direksyon ng isang vector sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa \(-1\) .
Ang produkto ng tuldok ay isang operasyon na tumatagal ng dalawang vector at nagbabalik ng isang numero (isang scalar). Ang tuldok na produkto ng dalawang vectors \((a, b)\) at \((c, d)\) sa dalawang-dimensional na espasyo ay kinakalkula sa pamamagitan ng pag-multiply ng kani-kanilang mga bahagi at pagkatapos ay pagsusuma sa mga produktong iyon: \(a*c + b*d\) . Ang produkto ng tuldok ay maaaring magbigay ng impormasyon tungkol sa anggulo sa pagitan ng dalawang vector. Kung ang tuldok na produkto ay zero, ang mga vector ay orthogonal (ibig sabihin, sa tamang anggulo sa isa't isa).
Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang cross product ay isa pang kapaki-pakinabang na operasyon na tumatagal ng dalawang vectors at nagbabalik ng ikatlong vector na patayo sa parehong orihinal na vectors. Ang magnitude ng cross product ay nagbibigay ng lugar ng parallelogram na sinasaklaw ng dalawang vectors. Para sa mga vectors \((a, b, c)\) at \((d, e, f)\) , ang cross product ay isang vector na ibinigay ng \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Mahalaga ang mga vector sa kumakatawan sa mga linya at eroplano sa geometry. Ang isang linya sa dalawang-dimensional na espasyo ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon. Ang equation ng linya ay ibinibigay ng \(r = a + tb\) , kung saan ang \(r\) ay ang vector ng posisyon ng anumang punto sa linya, \(a\) ay ang vector ng posisyon ng isang tiyak na punto sa linya, \(b\) ay ang vector ng direksyon ng linya, at \(t\) ay isang scalar na maaaring mag-iba.
Katulad nito, sa tatlong dimensyon, ang isang eroplano ay maaaring katawanin gamit ang isang punto at isang normal na vector (isang vector na patayo sa eroplano). Ang equation ng eroplano ay ibinibigay ng \(n \cdot (r - a) = 0\) , kung saan ang \(n\) ay ang normal na vector, \(r\) ay ang vector ng posisyon ng anumang punto sa eroplano, at \(a\) ay ang vector ng posisyon ng isang tiyak na punto sa eroplano.
Ang mga vector ay may maraming mga aplikasyon sa iba't ibang larangan. Sa pisika, ginagamit ang mga ito upang ilarawan ang mga puwersa, bilis, at mga acceleration. Sa computer graphics, tumutulong ang mga vector sa pag-render ng mga three-dimensional na modelo at pagmamanipula ng mga imahe. Sa pag-navigate, ang mga vector ay mahalaga para sa pagplano ng mga kurso at pag-unawa sa hangin o kasalukuyang mga epekto.
Ang pag-unawa at pagtatrabaho sa mga vector ay mga pangunahing kasanayan sa matematika at pisika. Pinapayagan nila ang isang tumpak at makapangyarihang paraan upang ilarawan at manipulahin ang pisikal na mundo. Ang mga konsepto ng vector addition, subtraction, scalar multiplication, pati na rin ang mga operasyon ng dot at cross product, ay bumubuo ng batayan para sa mas advanced na mga paksa sa vector calculus at linear algebra.
Ipinakilala ng araling ito ang mga pangunahing konsepto ng mga vector sa geometry, kabilang ang kanilang representasyon, mga operasyon, at mga aplikasyon. Ang mga vector ay isang pangunahing tool sa paglalarawan ng mundo sa matematika, na nagbibigay ng isang balangkas upang maunawaan at malutas ang mga problema sa maraming dimensyon. Sa pamamagitan ng pag-master ng mga pangunahing kaalaman sa vector math, makakakuha ang isa ng mas malalim na pananaw sa mga pag-uugali at katangian ng mga pisikal na sistema at geometrical na bagay.
