Vektör, hem büyüklüğü (veya uzunluğu) hem de yönü olan matematiksel bir nesnedir. Vektörler fizik, mühendislik ve matematikte, özellikle geometri alanında yaygın olarak kullanılmaktadır. Etrafımızdaki dünyayı hareket ve kuvvetler açısından anlamamıza ve tanımlamamıza yardımcı olurlar. Geometride vektörler konumları, yer değiştirmeleri ve hatta nesnelere etki eden kuvvetleri temsil edebilir.
Vektörler çeşitli şekillerde temsil edilebilir, ancak en yaygın olanı koordinatların kullanılmasıdır. İki boyutlu bir uzayda bir vektör, sırasıyla yatay ve dikey bileşenlerine karşılık gelen bir sayı çifti \((x, y)\) ile temsil edilir. Bu bileşenler vektörün yönünü ve büyüklüğünü gösterir. Örneğin, \((3, 4)\) vektörü yatay yönde 3 birim, dikey yönde 4 birim uzanır. Bir vektörün büyüklüğü veya uzunluğu Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir. \((a, b)\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\) formülüyle verilir.
Üç boyutlu uzayda bir vektör, yatay ve dikey olanlara bir derinlik bileşeni ekleyen üç koordinat \((x, y, z)\) ile temsil edilir. Bu, uçuş yolları veya gazların davranışları gibi üç boyutlu ortamlarda hareketin temsil edilmesine olanak tanır.
Vektörlerle yapılan temel işlemlerden biri onların toplanmasıdır. İki vektör toplandığında bileşenleri ayrı ayrı eklenir. Örneğin, \((1, 2)\) ve \((3, 4)\) vektörlerinin toplamı \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) vektörüdür. Bu işlem genellikle bir vektörün kuyruğunun diğerinin başına yerleştirilmesi ve serbest kuyruktan serbest başa bir vektör çizilmesiyle görselleştirilir. Bu , uçtan kuyruğa yöntemi olarak bilinir. Vektör toplama değişmelidir, yani vektörlerin sırası sonucu etkilemez.
Vektör çıkarma, ters yöndeki bir vektörün eklenmesi olarak düşünülebilir. İki vektör \((a, b)\) ve \((c, d)\) arasındaki fark \((ac, bd)\) ile verilir.
Bir vektör, yönünü etkilemeden büyüklüğünü değiştirmek için bir skaler (tek bir sayı) ile çarpılabilir. Bir \((x, y)\) vektörünü bir \(k\) skaler ile çarparsak, sonuç bir \((kx, ky)\) vektörüdür. Örneğin, \((2, 3)\) vektörünü \(2\) skaler ile çarpmak \((4, 6)\) vektörünü verir. Bu işlem aynı zamanda bir vektörün yönünü \(-1\) ile çarparak tersine çevirmek için de kullanılabilir.
Nokta çarpımı, iki vektör alan ve tek bir sayı (skaler) döndüren bir işlemdir. İki boyutlu uzayda iki vektör \((a, b)\) ve \((c, d)\) 'nin nokta çarpımı, ilgili bileşenlerinin çarpılması ve ardından bu çarpımların toplanmasıyla hesaplanır: \(a*c + b*d\) . Nokta çarpımı iki vektör arasındaki açı hakkında bilgi sağlayabilir. Nokta çarpım sıfırsa, vektörler diktir (yani birbirlerine dik açıdadır).
Üç boyutlu uzayda çapraz çarpım , iki vektör alan ve her iki orijinal vektöre dik olan üçüncü bir vektör döndüren başka bir yararlı işlemdir. Çapraz çarpımın büyüklüğü, iki vektörün kapsadığı paralelkenarın alanını verir. \((a, b, c)\) ve \((d, e, f)\) vektörleri için çapraz çarpım \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) ile verilen bir vektördür. \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vektörler geometride çizgileri ve düzlemleri temsil etmede önemlidir. İki boyutlu uzaydaki bir çizgi, bir nokta ve bir yön vektörüyle tanımlanabilir. Doğrunun denklemi \(r = a + tb\) ile verilir, burada \(r\) doğru üzerindeki herhangi bir noktanın konum vektörüdür, \(a\) çizgi üzerindeki belirli bir noktanın konum vektörüdür. \(b\) doğrunun yön vektörüdür ve \(t\) değişebilen bir skalerdir.
Benzer şekilde, üç boyutta bir düzlem, bir nokta ve bir normal vektör (düzleme dik bir vektör) kullanılarak temsil edilebilir. Düzlemin denklemi \(n \cdot (r - a) = 0\) ile verilir; burada \(n\) normal vektördür, \(r\) düzlemdeki herhangi bir noktanın konum vektörüdür, ve \(a\) düzlemdeki belirli bir noktanın konum vektörüdür.
Vektörlerin çeşitli alanlarda çok sayıda uygulaması vardır. Fizikte kuvvetleri, hızları ve ivmeleri tanımlamak için kullanılırlar. Bilgisayar grafiklerinde vektörler, üç boyutlu modellerin oluşturulmasına ve görüntülerin manipülasyonuna yardımcı olur. Navigasyonda vektörler rotaların planlanması ve rüzgar veya akıntı etkilerinin anlaşılması için gereklidir.
Vektörleri anlamak ve onlarla çalışmak matematik ve fizikte temel becerilerdir. Fiziksel dünyayı tanımlamanın ve manipüle etmenin kesin ve güçlü bir yolunu sağlarlar. Vektör toplama, çıkarma, skaler çarpma kavramlarının yanı sıra nokta ve çapraz çarpım işlemleri, vektör hesabı ve doğrusal cebirdeki daha ileri konuların temelini oluşturur.
Bu derste vektörlerin temsili, işlemleri ve uygulamaları da dahil olmak üzere geometrideki temel kavramları tanıtıldı. Vektörler, dünyayı matematiksel olarak tanımlamada önemli bir araçtır ve sorunları çok boyutlu olarak anlamak ve çözmek için bir çerçeve sağlar. Vektör matematiğinin temellerine hakim olarak, fiziksel sistemlerin ve geometrik nesnelerin davranışları ve özellikleri hakkında daha derin bir anlayış kazanılabilir.
