ویکٹر ایک ریاضیاتی شے ہے جس کی وسعت (یا لمبائی) اور سمت دونوں ہوتی ہیں۔ ویکٹر بڑے پیمانے پر طبیعیات، انجینئرنگ اور ریاضی میں استعمال ہوتے ہیں، خاص طور پر جیومیٹری کے میدان میں۔ وہ حرکت اور قوتوں کے لحاظ سے ہمارے ارد گرد کی دنیا کو سمجھنے اور بیان کرنے میں ہماری مدد کرتے ہیں۔ جیومیٹری میں، ویکٹر مقامات، نقل مکانی، اور یہاں تک کہ اشیاء پر عمل کرنے والی قوتوں کی نمائندگی کر سکتے ہیں۔
ویکٹر کو کئی طریقوں سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، لیکن سب سے زیادہ عام کوآرڈینیٹ استعمال کرنا ہے۔ دو جہتی اسپیس میں، ایک ویکٹر کو نمبرز کے جوڑے \((x, y)\) سے ظاہر کیا جاتا ہے جو بالترتیب اس کے افقی اور عمودی اجزاء سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ اجزاء ویکٹر کی سمت اور وسعت کی نشاندہی کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ویکٹر \((3, 4)\) افقی سمت میں 3 یونٹس اور عمودی سمت میں 4 اکائیوں کو پھیلاتا ہے۔ پائیتھاگورین تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ویکٹر کی وسعت یا لمبائی کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ ایک ویکٹر کی میگنیٹیوڈ \((a, b)\) فارمولے کے ذریعے دی جاتی ہے \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
تین جہتی جگہ میں، ایک ویکٹر کو تین نقاط \((x, y, z)\) سے ظاہر کیا جاتا ہے، جو افقی اور عمودی میں ایک گہرائی کا حصہ شامل کرتا ہے۔ یہ تین جہتی ماحول میں نقل و حرکت کی نمائندگی کرنے کی اجازت دیتا ہے، جیسے پرواز کے راستے یا گیسوں کے رویے.
ویکٹر کے ساتھ بنیادی کارروائیوں میں سے ایک ان کا اضافہ ہے۔ جب دو ویکٹر شامل کیے جاتے ہیں، تو ان کے اجزاء انفرادی طور پر شامل کیے جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ویکٹرز کا مجموعہ \((1, 2)\) اور \((3, 4)\) ویکٹر ہے \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) یہ آپریشن اکثر ایک ویکٹر کی دم کو دوسرے کے سر پر رکھ کر اور ایک ویکٹر کو آزاد دم سے آزاد سر کی طرف کھینچ کر دیکھا جاتا ہے۔ اسے ٹپ ٹو ٹیل طریقہ کے طور پر جانا جاتا ہے۔ ویکٹر کا اضافہ تبدیل ہوتا ہے، یعنی ویکٹر کی ترتیب نتیجہ پر اثر انداز نہیں ہوتی۔
ویکٹر گھٹاؤ کو مخالف سمت کے ساتھ ویکٹر کو شامل کرنے کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ دو ویکٹرز \((a, b)\) اور \((c, d)\) کے درمیان فرق \((ac, bd)\) سے دیا گیا ہے۔
ایک ویکٹر کو اسکیلر (ایک عدد) سے ضرب کیا جا سکتا ہے تاکہ اس کی سمت کو متاثر کیے بغیر اس کی شدت کو تبدیل کیا جا سکے۔ اگر ہم ایک ویکٹر \((x, y)\) اسکیلر \(k\) سے ضرب دیتے ہیں تو نتیجہ ایک ویکٹر ہوتا ہے \((kx, ky)\) ۔ مثال کے طور پر، ویکٹر \((2, 3)\) اسکیلر \(2\) سے ضرب کرنے سے ویکٹر حاصل ہوتا ہے \((4, 6)\) ۔ اس آپریشن کو کسی ویکٹر کی سمت کو \(-1\) سے ضرب دے کر ریورس کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔
ڈاٹ پروڈکٹ ایک ایسا آپریشن ہے جو دو ویکٹر لیتا ہے اور ایک نمبر (ایک اسکیلر) لوٹاتا ہے۔ دو جہتی جگہ میں دو ویکٹرز \((a, b)\) اور \((c, d)\) کی ڈاٹ پروڈکٹ کو ان کے متعلقہ اجزاء کو ضرب دے کر اور پھر ان مصنوعات کو جمع کر کے شمار کیا جاتا ہے: \(a*c + b*d\) ۔ ڈاٹ پروڈکٹ دو ویکٹروں کے درمیان زاویہ کے بارے میں معلومات فراہم کر سکتا ہے۔ اگر ڈاٹ پروڈکٹ صفر ہے تو ویکٹر آرتھوگونل ہیں (یعنی ایک دوسرے کے صحیح زاویہ پر)۔
تین جہتی جگہ میں، کراس پروڈکٹ ایک اور کارآمد آپریشن ہے جو دو ویکٹر لیتا ہے اور ایک تیسرا ویکٹر لوٹاتا ہے جو اصل دونوں ویکٹروں پر کھڑا ہوتا ہے۔ کراس پروڈکٹ کی وسعت دو ویکٹروں کے ذریعے پھیلے ہوئے متوازی علامت کا رقبہ فراہم کرتی ہے۔ ویکٹرز \((a, b, c)\) اور \((d, e, f)\) , کراس پروڈکٹ ایک ویکٹر ہے جو \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\)
جیومیٹری میں لکیروں اور طیاروں کی نمائندگی کرنے کے لیے ویکٹر ضروری ہیں۔ دو جہتی خلا میں ایک لائن کو ایک نقطہ اور سمت ویکٹر کے ذریعہ بیان کیا جاسکتا ہے۔ لائن کی مساوات \(r = a + tb\) کے ذریعہ دی گئی ہے، جہاں \(r\) لائن پر کسی بھی نقطہ کی پوزیشن ویکٹر ہے، \(a\) ایک مخصوص نقطہ کی پوزیشن ویکٹر ہے لائن، \(b\) لائن کا سمت ویکٹر ہے، اور \(t\) ایک اسکیلر ہے جو مختلف ہو سکتا ہے۔
اسی طرح، تین جہتوں میں، ایک ہوائی جہاز کو ایک نقطہ اور ایک عام ویکٹر (ہوائی جہاز پر کھڑا ایک ویکٹر) کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے۔ ہوائی جہاز کی مساوات \(n \cdot (r - a) = 0\) کے ذریعہ دی گئی ہے، جہاں \(n\) عام ویکٹر ہے، \(r\) ہوائی جہاز پر کسی بھی نقطہ کی پوزیشن ویکٹر ہے، اور \(a\) ہوائی جہاز پر ایک مخصوص نقطہ کی پوزیشن ویکٹر ہے۔
ویکٹر کے پاس مختلف شعبوں میں متعدد ایپلی کیشنز ہیں۔ طبیعیات میں، وہ قوتوں، رفتار اور سرعت کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ کمپیوٹر گرافکس میں، ویکٹر تین جہتی ماڈلز اور تصاویر کی ہیرا پھیری میں مدد کرتے ہیں۔ نیویگیشن میں، ویکٹر کورسز کی منصوبہ بندی کرنے اور ہوا یا موجودہ اثرات کو سمجھنے کے لیے ضروری ہیں۔
ویکٹر کو سمجھنا اور ان کے ساتھ کام کرنا ریاضی اور طبیعیات میں بنیادی مہارتیں ہیں۔ وہ جسمانی دنیا کو بیان کرنے اور اس میں ہیرا پھیری کرنے کے لیے ایک درست اور طاقتور طریقہ کی اجازت دیتے ہیں۔ ویکٹر کے اضافے، گھٹاؤ، اسکیلر ضرب کے تصورات کے ساتھ ساتھ ڈاٹ اور کراس پروڈکٹ کے عمل، ویکٹر کیلکولس اور لکیری الجبرا میں مزید جدید موضوعات کی بنیاد بناتے ہیں۔
اس سبق نے جیومیٹری میں ویکٹرز کے بنیادی تصورات کو متعارف کرایا، بشمول ان کی نمائندگی، عمل اور استعمال۔ دنیا کو ریاضیاتی طور پر بیان کرنے میں ویکٹر ایک کلیدی ٹول ہیں، متعدد جہتوں میں مسائل کو سمجھنے اور حل کرنے کے لیے ایک فریم ورک فراہم کرتے ہیں۔ ویکٹر ریاضی کی بنیادی باتوں پر عبور حاصل کر کے، کوئی بھی جسمانی نظاموں اور ہندسی اشیاء کے طرز عمل اور خصوصیات کے بارے میں گہری بصیرت حاصل کر سکتا ہے۔
