Vectơ là một đối tượng toán học có cả độ lớn (hoặc chiều dài) và hướng. Vector được sử dụng rộng rãi trong vật lý, kỹ thuật và toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học. Chúng giúp chúng ta hiểu và mô tả thế giới xung quanh chúng ta về chuyển động và lực lượng. Trong hình học, vectơ có thể biểu thị vị trí, chuyển vị và thậm chí cả lực tác dụng lên vật thể.
Các vectơ có thể được biểu diễn theo nhiều cách, nhưng một trong những cách phổ biến nhất là sử dụng tọa độ. Trong không gian hai chiều, một vectơ được biểu thị bằng một cặp số \((x, y)\) tương ứng với các thành phần ngang và dọc của nó. Các thành phần này cho biết hướng và độ lớn của vectơ. Ví dụ: vectơ \((3, 4)\) mở rộng 3 đơn vị theo hướng ngang và 4 đơn vị theo hướng dọc. Độ lớn hoặc chiều dài của vectơ có thể được tính bằng định lý Pythagore. Độ lớn của vectơ \((a, b)\) được tính theo công thức \(\sqrt{a^2 + b^2}\) .
Trong không gian ba chiều, một vectơ được biểu thị bằng ba tọa độ \((x, y, z)\) , thêm thành phần độ sâu cho các thành phần ngang và dọc. Điều này cho phép thể hiện chuyển động trong môi trường ba chiều, chẳng hạn như đường bay hoặc hành vi của chất khí.
Một trong những phép toán cơ bản với vectơ là phép cộng. Khi hai vectơ được thêm vào, các thành phần của chúng được thêm riêng lẻ. Ví dụ: tổng của các vectơ \((1, 2)\) và \((3, 4)\) là vectơ \((1+3, 2+4) = (4, 6)\) . Thao tác này thường được hình dung bằng cách đặt đuôi của một vectơ ở đầu vectơ kia và vẽ một vectơ từ đuôi tự do đến đầu tự do. Đây được gọi là phương pháp tip-to-tail . Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán, nghĩa là thứ tự của các vectơ không ảnh hưởng đến kết quả.
Phép trừ vectơ có thể được coi là phép cộng một vectơ có hướng ngược lại. Sự khác biệt giữa hai vectơ \((a, b)\) và \((c, d)\) được cho bởi \((ac, bd)\) .
Một vectơ có thể được nhân với một số vô hướng (một số) để thay đổi độ lớn của nó mà không ảnh hưởng đến hướng của nó. Nếu chúng ta nhân một vectơ \((x, y)\) với một số vô hướng \(k\) , thì kết quả là một vectơ \((kx, ky)\) . Ví dụ: nhân vectơ \((2, 3)\) với vô hướng \(2\) mang lại vectơ \((4, 6)\) . Thao tác này cũng có thể được sử dụng để đảo ngược hướng của vectơ bằng cách nhân nó với \(-1\) .
Tích số chấm là một phép toán lấy hai vectơ và trả về một số duy nhất (một số vô hướng). Tích vô hướng của hai vectơ \((a, b)\) và \((c, d)\) trong không gian hai chiều được tính bằng cách nhân các thành phần tương ứng của chúng rồi tính tổng các tích đó: \(a*c + b*d\) . Tích số chấm có thể cung cấp thông tin về góc giữa hai vectơ. Nếu tích số chấm bằng 0 thì các vectơ là trực giao (nghĩa là vuông góc với nhau).
Trong không gian ba chiều, tích chéo là một phép toán hữu ích khác lấy hai vectơ và trả về vectơ thứ ba vuông góc với cả hai vectơ ban đầu. Độ lớn của tích chéo cho diện tích hình bình hành được kéo dài bởi hai vectơ. Đối với các vectơ \((a, b, c)\) và \((d, e, f)\) , tích chéo là một vectơ cho bởi \((bf - ce, cd - af, ae - bd)\) .
Vector rất cần thiết trong việc biểu diễn đường thẳng và mặt phẳng trong hình học. Một đường thẳng trong không gian hai chiều có thể được mô tả bằng một điểm và một vectơ chỉ phương. Phương trình của đường thẳng được cho bởi \(r = a + tb\) , trong đó \(r\) là vectơ vị trí của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng, \(a\) là vectơ vị trí của một điểm cụ thể trên đường thẳng, \(b\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng và \(t\) là một đại lượng vô hướng có thể thay đổi.
Tương tự, trong không gian ba chiều, một mặt phẳng có thể được biểu diễn bằng một điểm và một vectơ pháp tuyến (một vectơ vuông góc với mặt phẳng). Phương trình của mặt phẳng được cho bởi \(n \cdot (r - a) = 0\) , trong đó \(n\) là vectơ pháp tuyến, \(r\) là vectơ vị trí của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, và \(a\) là vectơ vị trí của một điểm cụ thể trên mặt phẳng.
Vector có nhiều ứng dụng trên nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong vật lý, chúng được sử dụng để mô tả lực, vận tốc và gia tốc. Trong đồ họa máy tính, vectơ giúp hiển thị các mô hình ba chiều và xử lý hình ảnh. Trong điều hướng, vectơ rất cần thiết để vẽ đường đi và hiểu các tác động của gió hoặc dòng chảy.
Hiểu và làm việc với vectơ là những kỹ năng cơ bản trong toán học và vật lý. Chúng cho phép mô tả và thao tác thế giới vật chất một cách chính xác và mạnh mẽ. Các khái niệm về phép cộng, phép trừ, phép nhân vô hướng, cũng như các phép toán tích chấm và tích chéo, tạo thành cơ sở cho các chủ đề nâng cao hơn trong phép tính vectơ và đại số tuyến tính.
Bài học này giới thiệu các khái niệm cơ bản về vectơ trong hình học, bao gồm cách biểu diễn, phép toán và ứng dụng của chúng. Vector là công cụ quan trọng trong việc mô tả thế giới về mặt toán học, cung cấp một khuôn khổ để hiểu và giải quyết các vấn đề theo nhiều chiều. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản về toán học vectơ, người ta có thể hiểu sâu hơn về hành vi và tính chất của các hệ vật lý và các đối tượng hình học.
