Математикийн хоёртын үйлдлийг судлах чухал ойлголт бол урвуу элементүүдийн тухай ойлголт юм. Энэ хичээл нь математикийн янз бүрийн нөхцөл дэх урвуу элементүүдийн тодорхойлолт, ач холбогдол, хэрэглээг судлах болно.
Урвуу элементүүдийг судлахын өмнө хоёртын үйлдлүүд гэж юу болохыг ойлгох нь маш чухал юм. Хоёртын үйлдэл гэдэг нь олонлогийн дурын хоёр элементийг нэгтгэж нэг олонлог дотор өөр элемент үүсгэх дүрэм юм. Нийтлэг жишээнд бодит тооны олонлог дээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд орно.
Олонлог дээрх хоёртын үйлдлийн контекст дэх урвуу элемент нь тухайн үйлдлээр дамжуулан өөр тодорхой элементтэй нийлснээр тухайн үйлдлийн таних элементийг үүсгэдэг элемент юм. Идентификаторын элемент нь хоёртын үйлдэл бүрийн хувьд өвөрмөц бөгөөд үйлдлээр дамжуулан бусад элементүүдтэй хослуулахдаа өөрчлөгддөггүй элемент юм.
Илүү албан ёсоор, хэрэв \( * \) нь олонлог дээрх хоёртын үйлдэл \( S \) бөгөөд хэрэв \( a \) болон \( b \) нь \( S \) доторх элементүүд бол \( b \) нь болно. \( a \) -ийн урвуу гэж нэрлэдэг (болон эсрэгээр): хэрэв:
\( a * b = b * a = e \)Энд \( e \) нь \( S \) олонлог дахь \( * \) хоёртын үйлдлийн таних элемент юм.
Нэмэх, хасах үйлдэл: Бодит тоонуудын олонлог дээр нэмэхийн контекстэд таних элемент нь \( 0 \) байна, учир нь дурын тоонд тэг нэмэхэд тухайн тоо өөрчлөгдөхгүй. Аливаа бодит тооны хувьд \( a \) урвуу нь \( -a \) , учир нь \( a + (-a) = 0 \) нь таних элемент юм.
Үржүүлэх ба хуваах: Бодит тооны олонлог дээр (тэгээс бусад) үржүүлэхэд таних элемент нь \( 1 \) байна, учир нь дурын тоог \( 1 \) -ээр үржүүлэхэд өөрчлөгдөхгүй. Дурын тооны урвуу \( a \) ( \( 0 \) ) -аас бусад нь \( \frac{1}{a} \) , учир нь \( a \times \frac{1}{a} = 1 \) , таних элемент.
Матрицын үйлдлүүд: Матрицыг үржүүлэх хоёртын үйлдлийг авч үзэхэд таних элемент нь диагональ дагуух \( 1 \) s ба бусад хэсэгт \( 0 \) s-ээс бүрдэх \( I \) гэж тэмдэглэгдсэн таних матриц юм. \( A \) матрицын урвуу нь \( A^{-1} \) гэж тэмдэглэгдсэн өөр матриц бөгөөд \( A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I \) .
Урвуу элементүүд нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, математикийн янз бүрийн асуудлын шийдлийг олоход үндэс суурь болдог. Эдгээр нь хувьсагч эсвэл элементүүдийг тусгаарлах үйлдлүүдийг "буцах" боломжийг олгодог. Жишээлбэл, \( a + x = b \) тэгшитгэлийг \( x \) -ийн хувьд шийдэхийн тулд \( a \) -ын урвуу утгыг ашиглан \( -a \) \( x = b - a \) ) гаргаж болно. \( x = b - a \) .
Алгебр зэрэг салбарт урвуу ойлголтыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд, криптографид харилцаа холбоог хамгаалахад, геометрт дүрсийг хувиргахад ашигладаг. Бүлгийн онолд хийсвэр алгебрийн нэг салбар урвуу элемент байх нь олонлогийг хоёртын үйлдэлтэй хамт бүлэг үүсгэх нөхцөл бөгөөд энэ нь математикийн суурь бүтэц юм.
Тооцоолол, алгебрийн аргаар урвуу элементийн тухай ойлголтыг туршиж болно. Жишээлбэл, \( 3x + 2 = 11 \) тэгшитгэлийг авч үзье. \( x \) -г шийдэхийн тулд эхлээд хоёр талаас \( 2 \) хасна ( \( +2 \) -ийн урвуу утгыг ашиглан \( -2 \) ), дараа нь хоёр талыг үржүүлнэ. \( 3 \) -ийн урвуу бөгөөд энэ нь \( \frac{1}{3} \) юм. Үйлдлүүд нь \( x = 3 \) шийдлийг гаргана.
Үүний нэгэн адил, өгөгдсөн матрицын урвуу утгыг (хэрэв байгаа бол) тооцоолж, матрицын үржвэр ба түүний урвуу нь таних матрицыг гаргаж байгааг баталгаажуулах замаар матрицтай туршилт хийж болно. Энэ үйл явц нь матрицын тодорхойлогчийг олох, дараа нь кофакторуудын матрицыг олох, түүнийг шилжүүлэх, тодорхойлогчоор хуваах зэрэгт урвуу элементүүдийн хэрэглээ болон өндөр хэмжээст тохиолдлуудад үүсч болох нарийн төвөгтэй байдлыг хоёуланг нь харуулдаг.
Урвуу элементүүдийг ойлгох нь математикийн янз бүрийн салбарт, үндсэн алгебраас эхлээд шугаман алгебр, бүлгийн онол зэрэг илүү төвөгтэй талбаруудад маш чухал юм. Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, математикийн бүтцийг ойлгоход тусалдаг суурь ойлголт бөгөөд тэр ч байтугай компьютерийн шинжлэх ухаан, криптограф зэрэг математикийн бусад салбарт хэрэглэгдэх боломжтой. Энэхүү ойлголтыг эзэмшсэнээр математикийн үйлдлүүд болон тэдгээрийн шинж чанаруудын харилцан уялдаа холбоо, гоёмсог байдлын талаар илүү гүнзгий ойлголттой болно.
