Тойрог нь төв цэгээс тогтмол зайд байгаа бүх цэгүүдийг төлөөлдөг геометрийн үндсэн хэлбэрүүдийн нэг юм. Энэхүү төв цэгийг тойргийн төв гэж нэрлэдэг бөгөөд төвөөс тойргийн аль ч цэг хүртэлх тогтмол зайг радиус гэж нэрлэдэг. Энэ хичээлээр бид тойрогтой холбоотой янз бүрийн шинж чанаруудыг судалж, тэдгээрийн ач холбогдлыг ойлгож, тэдгээрийг янз бүрийн хувилбарт хэрхэн ашиглахыг харах болно.
Тойрог математикийн хувьд \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) тэгшитгэлийг хангасан хавтгайн бүх \((x, y)\) цэгүүдийн олонлог гэж тодорхойлж болно. \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) энд \((h, k)\) нь тойргийн төв, \(r\) нь радиус юм. Энэхүү үндсэн тэгшитгэл нь тойрог дээрх цэг бүр төвөөсөө хэрхэн ижил зайд (радиус) байгааг харуулж байна.
Тойрог нь төв болон радиусаас гадна өөр чухал талуудтай, тухайлбал радиусаас хоёр дахин их диаметртэй бөгөөд тойргийн нэг ирмэгээс нөгөө ирмэг хүртэл голоор дамжин өнгөрдөг. Тойргийн диаметрийн томъёо нь \(d = 2r\) байна. Өөр нэг гол шинж чанар бол тойрог буюу тойргийн нийт зай юм. Тойрог томъёог ашиглан тооцоолж болно \(C = 2\pi r\) энд \(\pi\) (Pi) нь ойролцоогоор 3.14159-тэй тэнцүү байна.
Тойргоор хүрээлэгдсэн талбай нь түүний хил хязгаарт байгаа нийт зайг харуулсан өөр нэг үндсэн өмч юм. Тойргийн талбайн томъёо нь \(A = \pi r^2\) юм. Эдгээр томьёо, шинж чанарууд нь геометрийн янз бүрийн салбарт болон бусад хүрээг ойлгох, тойргоор ажиллахад зайлшгүй шаардлагатай.
\(\pi\) (Pi) тоо нь тойргийн геометрт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нь аливаа тойргийн тойргийн диаметрийг түүний тойргийн харьцааг илэрхийлдэг тогтмол юм. Тойргийн хэмжээнээс үл хамааран энэ харьцаа үргэлж \(\pi\) тэнцүү байх болно. Энэ тогтмол нь иррациональ бөгөөд үүнийг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд аравтын бутархай дүрслэл нь дахин давтагдахгүйгээр тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилдэг.
Тойргийг салбар ба сегмент гэж нэрлэдэг жижиг хэсгүүдэд хувааж болно. Хоёр радиус ба тэдгээрийг холбосон нумын хооронд сектор үүсдэг. Салбарын нэг нийтлэг жишээ бол зүсэм пицца юм. Салбарын талбайг тойргийн талбайг тухайн секторын төлөөлж буй тойргийн бутархайгаар үржүүлж олох боломжтой бөгөөд үүнийг \(Area\_of\_Sector = \frac{\theta}{360} \pi r^2\) энд \(\theta\) салбарын төв өнцгийг градусаар илэрхийлнэ.
Харин хэрчим гэдэг нь тойргийн бусад хэсгээс хөвчөөр (тойрог дээрх дурын хоёр цэгийг холбосон шугам) "таслагдсан" тойргийн талбай юм. Сегментийн талбайг тооцоолоход арай илүү төвөгтэй байж болох бөгөөд ихэвчлэн гурвалжин хэсгийн талбайг салбарын талбайгаас хасдаг.
Тойрог шүргэгч гэдэг нь тойрогтой яг нэг цэгт хүрч байгаа шулуун шугам юм. Энэ цэгийг шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг. Шүргэгчийн өвөрмөц шинж чанар нь шүргэлтийн цэг дэх радиустай перпендикуляр байдаг явдал юм. Нөгөө талаас хөвч нь төгсгөлийн цэгүүд нь тойрог дээр байрладаг шугамын хэсэг юм. Диаметр нь хөвчний онцгой тохиолдол юм; Энэ нь тойргийн төвийг дайран өнгөрдөг тул хамгийн урт хөвч юм.
Төвтэй тойрог нь ижил төвтэй боловч өөр өөр радиустай тойрог юм. Эдгээр тойрог нь хоорондоо огтлолцдоггүй бөгөөд ихэвчлэн байгалийн болон хүний гараар хийсэн янз бүрийн загварт байдаг. Тэд энгийн геометрийн зарчмаар хүрч болох гоо үзэсгэлэн, тэгш хэмийг дүрсэлдэг.
Тойрог болон тэдгээрийн шинж чанарууд нь бодит амьдрал дээр өргөн хүрээний хэрэглээтэй байдаг. Жишээлбэл, архитектурт бөмбөгөр, нуман хаалга гэх мэт муруй байгууламжаар хангагдсан бат бөх, тогтвортой байдал нь тойргийн геометрийг ойлгох практик ач тусыг харуулж байна. Технологийн хувьд дугуй араа болон дамар нь жигд, үр ашигтай ажиллахын тулд диаметр, тойргийн нарийн тооцоололд тулгуурладаг. Байгальд ч гэсэн нарны эргэн тойрон дахь гаригуудын дугуй тойрог зам эсвэл цөөрөмд хаясан хайрга чулуунаас үүссэн дугуй долгион нь манай орчлон ертөнцөд энэ хэлбэр тархсан болохыг харуулж байна.
Дүгнэж хэлэхэд тойрог нь төв болон радиусаар тодорхойлогддог энгийн хэлбэр биш юм. Энэ нь диаметр, тойрог, талбай, сектор, сегмент, шүргэгч, хөвч зэрэг өргөн хүрээний шинж чанаруудыг хамардаг бөгөөд эдгээр нь геометр болон бусад зүйлд гүнзгий нөлөө үзүүлдэг. Тогтмол \(\pi\) нь энгийн харьцаа боловч дугуй хэлбэрийн нарийн төвөгтэй байдал, гоо сайхныг ойлгох цонхыг нээж өгдөг. Эдгээр шинж чанаруудыг ойлгох нь биднийг хүрээлэн буй ертөнцийг илүү сайн ойлгож, эдгээр ойлголтыг шинжлэх ухаан, архитектур, байгалийн янз бүрийн нөхцөлд ашиглах боломжийг олгодог.
