Parabolas बीजगणित र गणित को क्षेत्र मा एक आकर्षक विषय हो। तिनीहरू अद्वितीय ज्यामितीय आकारहरू हुन् जसमा विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रहरूमा महत्त्वपूर्ण गुणहरू र अनुप्रयोगहरू छन्।
एक parabola एक वक्र हो जुन एक द्विघात प्रकार्य को ग्राफ हो। एक द्विघात प्रकार्य कुनै पनि प्रकार्य हो जुन फारममा लेख्न सकिन्छ \(f(x) = ax^2 + bx + c\) , जहाँ \(a\) , \(b\) , र \(c\) छन्। स्थिरांक, र \(a \neq 0\) । गुणांक \(a\) को चिन्हमा निर्भर गर्दै, parabola को आकार माथि वा तल खुल्छ। यदि \(a\) सकारात्मक छ भने, प्याराबोला माथितिर खुल्छ, र यदि \(a\) नकारात्मक छ भने, यो तल खुल्छ।
vertex parabola मा एक महत्वपूर्ण बिन्दु हो। यसले यसको अभिमुखीकरणमा निर्भर गर्दै, वक्रमा उच्चतम वा तल्लो बिन्दु प्रतिनिधित्व गर्दछ। भेर्टेक्स सूत्र प्रयोग गरेर फेला पार्न सकिन्छ: \( x = -\frac{b}{2a} \) एक पटक भेर्टेक्सको \(x\) समन्वय फेला परेपछि, यसलाई फेला पार्न मूल समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्न सकिन्छ। \(y\) समन्वय।
प्रत्येक प्याराबोलामा सममितिको अक्ष हुन्छ, जुन ठाडो रेखा हो जुन भेर्टेक्सबाट जान्छ र पाराबोलालाई दुई मिरर-इमेज हल्भहरूमा विभाजित गर्दछ। सममितिको अक्षको समीकरण vertex को \(x\) समन्वयका लागि समान सूत्र प्रयोग गरेर फेला पार्न सकिन्छ: \( x = -\frac{b}{2a} \)
प्याराबोलासको अर्को महत्त्वपूर्ण विशेषता फोकस र डाइरेक्टिक्स हो। फोकस एक बिन्दु हो जहाँबाट दूरी एक parabola परिभाषित मा मापन गरिन्छ। अर्कोतर्फ डाइरेक्टिक्स एक रेखा हो। एक प्याराबोला परिभाषित गर्ने गुण भनेको वक्रमा रहेको कुनै पनि बिन्दु फोकस र डाइरेक्टिक्सबाट समान दूरीमा छ।
vertex देखि फोकस (वा directrix सम्म) को दूरी सूत्र द्वारा दिइएको छ: \( \frac{1}{4a} \) प्याराबोला को vertex थाहा छ, फोकस र directrix सजिलै पत्ता लगाउन सक्छ।
Parabolas सैद्धान्तिक निर्माण मात्र होइन तर वास्तविक संसारमा व्यावहारिक अनुप्रयोगहरू पनि छन्। उदाहरणका लागि, स्याटेलाइट डिशहरू र टेलिस्कोपहरूले क्रमशः रिसीभरमा संकेतहरू फोकस गर्न वा प्रकाश जम्मा गर्न parabolas को परावर्तित गुण प्रयोग गर्दछ।
उदाहरण १: द्विघात प्रकार्यको साधारण उदाहरण \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) हो। यसको भेर्टेक्स निम्नानुसार गणना गर्न सकिन्छ: \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \) प्रतिस्थापन \(x = 2\) मूल समीकरणमा फर्काउँदा \(y\) समन्वय हुन्छ। vertex of the vertex as: \( y = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1 \) त्यसैले, यो parabola को vertex (2, -1) मा छ।
प्याराबोलाहरू बुझ्न प्रयोगहरू द्वारा विस्तार गर्न सकिन्छ। उदाहरणका लागि, स्ट्रिङ र पिनहरूको सेट प्रयोग गरेर, एक निश्चित बिन्दु (फोकस) देखि रेखा (डायरेक्टिक्स) सम्म प्रत्येक स्ट्रिङ खण्ड बराबर लम्बाइको छ भनी सुनिश्चित गरेर एक प्याराबोलाको भौतिक मोडेल निर्माण गर्न सक्छ।
Parabolas तिनीहरूको अद्वितीय गुणहरू र अनुप्रयोगहरूको विस्तृत दायराको कारण गणितमा धेरै रुचि राख्छन्। अमूर्त बीजगणित देखि वास्तविक-विश्व घटना सम्म, प्याराबोलालाई बुझ्दा गणितको सैद्धान्तिक र व्यावहारिक पक्षहरूमा अन्तरदृष्टि प्रदान गर्दछ।
