फ़ंक्शन गणित में मूलभूत अवधारणाओं में से एक हैं और विभिन्न गणितीय सिद्धांतों और अनुप्रयोगों को समझने के लिए आवश्यक हैं। फ़ंक्शन इनपुट के एक सेट और अनुमेय आउटपुट के एक सेट के बीच एक संबंध है, जिसमें यह गुण होता है कि प्रत्येक इनपुट ठीक एक आउटपुट से संबंधित होता है।
फ़ंक्शन को एक गणितीय मशीन के रूप में देखा जा सकता है जो इनपुट लेती है, उस पर कुछ ऑपरेशन करती है और फिर आउटपुट तैयार करती है। फ़ंक्शन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार दी गई है:
\(f: A \rightarrow B\)
जहां \(A\) डोमेन (सभी संभावित इनपुट) है, \(B\) कोडोमेन (सभी संभावित आउटपुट) है, और \(f\) स्वयं फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है, जो \(A\) के प्रत्येक तत्व को \(B\) के ठीक एक तत्व से मैप करता है।
कार्यों को उनकी विशेषताओं के आधार पर विभिन्न तरीकों से वर्गीकृत किया जा सकता है। कुछ सामान्य प्रकार इस प्रकार हैं:
फ़ंक्शन नोटेशन किसी विशेष इनपुट के लिए फ़ंक्शन के आउटपुट को दर्शाने का एक तरीका है। फ़ंक्शन \(f\) दिए जाने पर, नोटेशन \(f(x)\) इनपुट \ \(x\) होने पर \(f\) के आउटपुट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि \(f(x) = x^2 + 3x - 5\) , तो \(f(2) = 2^2 + 3(2) - 5 = 7\) , यह दर्शाता है कि जब इनपुट 2 है, तो आउटपुट 7 है।
ग्राफ़ का उपयोग करके फ़ंक्शन को विज़ुअलाइज़ किया जा सकता है, जो एक सचित्र प्रतिनिधित्व प्रदान करता है कि किसी फ़ंक्शन का इनपुट उसके आउटपुट से कैसे संबंधित है। उदाहरण के लिए, एक रैखिक फ़ंक्शन \(f(x) = mx + b\) का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, और एक द्विघात फ़ंक्शन \(f(x) = ax^2 + bx + c\) का ग्राफ़ एक परवलय है। ग्राफ़िंग फ़ंक्शन उनके गुणों जैसे अवरोधन, बढ़ते या घटते व्यवहार और अनंतस्पर्शी को चित्रित करने में मदद कर सकते हैं।
किसी फ़ंक्शन का डोमेन फ़ंक्शन के लिए सभी संभावित इनपुट का सेट होता है, जबकि रेंज सभी संभावित आउटपुट का सेट होता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(f(x) = \sqrt{x}\) का डोमेन सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का होता है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल वास्तविक संख्याओं के सेट में परिभाषित नहीं होते हैं। इसकी रेंज भी सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें कि फ़ंक्शन कैसे काम करते हैं:
गणित में फ़ंक्शन एक केंद्रीय अवधारणा है, जो मात्राओं के बीच संबंधों को मॉडल करने का एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करता है। वे कई रूपों में आते हैं, जिनमें रैखिक, द्विघात, बहुपद, घातांक और लघुगणक शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने विशिष्ट अनुप्रयोग और गुण हैं। फ़ंक्शन को समझना, उनका संकेतन और उन्हें ग्राफ़ करना गणित में मूलभूत कौशल हैं जो अध्ययन के विभिन्न क्षेत्रों में लागू होते हैं।
