दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसे \(ax + by = c\) रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(x\) और \(y\) चर हैं, \(a\) , \(b\) , और \(c\) स्थिरांक हैं, और \(a\) और \(b\) दोनों शून्य नहीं हैं। ये समीकरण बीजगणित की नींव हैं और \(x\) और \(y\) के मानों को खोजने का एक तरीका प्रदान करते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।
रैखिक समीकरण \(ax + by = c\) निर्देशांक तल पर ग्राफ़ किए जाने पर एक सीधी रेखा को दर्शाता है। स्थिरांक \(a\) और \(b\) रेखा की ढलान और स्थिति निर्धारित करते हैं, जबकि \(c\) ग्राफ़ पर रेखा के स्थान से संबंधित है। दो चरों वाले रैखिक समीकरण को हल करने का लक्ष्य \(x\) और \(y\) के विशिष्ट मानों को खोजना है जो समीकरण को पूरा करते हैं।
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए तीन प्राथमिक विधियाँ हैं: ग्राफ़िकल, प्रतिस्थापन और उन्मूलन। प्रत्येक विधि समाधान खोजने के लिए एक अलग दृष्टिकोण प्रदान करती है।
ग्राफ़िकल विधि में, किसी सिस्टम में दोनों समीकरणों को एक ही निर्देशांक तल पर ग्राफ़ किया जाता है। वह बिंदु जहाँ दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, सिस्टम के समाधान को दर्शाता है, या \(x\) और \(y\) के विशिष्ट मानों को दर्शाता है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
प्रतिस्थापन विधि में एक चर के लिए समीकरणों में से एक को हल करना और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना शामिल है। यह प्रणाली को एक चर के साथ एकल समीकरण में बदल देता है, जिसे हल किया जा सकता है।
उन्मूलन विधि, किसी एक चर को समाप्त करने के लिए समीकरणों को जोड़ने या घटाने पर केंद्रित होती है, जिससे शेष चर को हल करना संभव हो जाता है।
समीकरण प्रणाली पर विचार करें:
\(3x + 4y = 10\)
\(2x - y = 1\)
समाधान \(x = \frac{14}{11}\) और \(y = \frac{17}{11}\) है।
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए इन विधियों को समझना और लागू करना बीजगणितीय हेरफेर तकनीकों से परिचित होना आवश्यक है, जैसे कि किसी विशेष चर के लिए समीकरणों को हल करना, रैखिक समीकरणों को ग्राफ़ करना और ढलान और अवरोधन की अवधारणाओं को समझना। विधि का चुनाव अक्सर विशिष्ट समीकरणों और हल करने वाले की पसंद पर निर्भर करता है। विभिन्न समस्याओं के साथ अभ्यास करने से यह समझने में मदद मिल सकती है कि विभिन्न स्थितियों में किस विधि को लागू किया जाए।
