Back to the topics list

rješavanje linearne jednadžbe s dvije varijable

Rješavanje linearnih jednadžbi s dvije varijable

Linearna jednadžba s dvije varijable je jednadžba koja se može napisati u obliku \(ax + by = c\) , gdje su \(x\) i \(y\) varijable, \(a\) , \(b\) , i \(c\) su konstante, a \(a\) i \(b\) nisu oba nula. Ove su jednadžbe temelj algebre i pružaju način za pronalaženje vrijednosti \(x\) i \(y\) koje jednadžbu čine istinitom.

Razumijevanje linearne jednadžbe

Linearna jednadžba \(ax + by = c\) predstavlja ravnu liniju kada se grafički prikaže na koordinatnoj ravnini. Konstante \(a\) i \(b\) određuju nagib i položaj linije, dok se \(c\) odnosi na položaj linije na grafikonu. Cilj rješavanja linearne jednadžbe s dvije varijable je pronaći specifične vrijednosti \(x\) i \(y\) koje ispunjavaju jednadžbu.

Metode rješavanja linearnih jednadžbi

Postoje tri primarne metode za rješavanje linearnih jednadžbi s dvije varijable: grafička, supstitucijska i eliminacijska. Svaka metoda nudi drugačiji pristup pronalaženju rješenja.

Grafička metoda

U grafičkoj metodi, obje jednadžbe u sustavu prikazuju se grafički na istoj koordinatnoj ravnini. Točka u kojoj se dvije linije sijeku predstavlja rješenje sustava ili specifične vrijednosti \(x\) i \(y\) koje zadovoljavaju obje jednadžbe.

• Korak 1: Pretvorite svaku jednadžbu u oblik presjeka nagiba ( \(y = mx + b\) ).
• Korak 2: Grafički nacrtajte svaku jednadžbu na istoj koordinatnoj ravnini.
• Korak 3: Odredite točku sjecišta.
• Korak 4: Interpretirajte točku presjeka kao rješenje ( \(x\) , \(y\) ).

Metoda zamjene

Metoda zamjene uključuje rješavanje jedne od jednadžbi za jednu varijablu i zatim zamjenu dobivenog izraza u drugu jednadžbu. Ovo svodi sustav na jednu jednadžbu s jednom varijablom, koja se može riješiti.

• Korak 1: Riješite jednu od jednadžbi za jednu varijablu u smislu druge.
• Korak 2: Zamijenite izraz iz Koraka 1 u drugu jednadžbu.
• Korak 3: Riješite dobivenu jednadžbu za preostalu varijablu.
• Korak 4: Zamijenite rješenje natrag u jednu od izvornih jednadžbi kako biste pronašli vrijednost druge varijable.

Metoda eliminacije

Metoda eliminacije usredotočuje se na zbrajanje ili oduzimanje jednadžbi kako bi se eliminirala jedna od varijabli, čime je moguće riješiti preostalu varijablu.

• Korak 1: Ako je potrebno, pomnožite jednu ili obje jednadžbe s konstantom da koeficijenti jedne od varijabli budu suprotni.
• Korak 2: Dodajte ili oduzmite jednadžbe kako biste eliminirali jednu varijablu.
• Korak 3: Riješite dobivenu jednadžbu za preostalu varijablu.
• Korak 4: Zamijenite rješenje natrag u jednu od izvornih jednadžbi kako biste pronašli vrijednost druge varijable.

Primjer

Razmotrimo sustav jednadžbi:

\(3x + 4y = 10\)

\(2x - y = 1\)

Rješavanje metodom zamjene

• Riješite drugu jednadžbu za \(y\) : \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) .
• Zamijenite \(y = 2x - 1\) u prvu jednadžbu: \(3x + 4(2x - 1) = 10\) .
• Pojednostavite i riješite za \(x\) : \(3x + 8x - 4 = 10 \Rightarrow 11x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{11}\) .
• Zamijenite \(x = \frac{14}{11}\) u \(y = 2x - 1\) : \(y = 2(\frac{14}{11}) - 1 = \frac{17}{11}\) .

Rješenje je \(x = \frac{14}{11}\) i \(y = \frac{17}{11}\) .

Ključni koncepti

Razumijevanje i primjena ovih metoda za rješavanje linearnih jednadžbi s dvije varijable zahtijeva poznavanje algebarskih tehnika manipulacije, kao što je rješavanje jednadžbi za određenu varijablu, grafičko crtanje linearnih jednadžbi i razumijevanje koncepata nagiba i presjeka. Odabir metode često ovisi o specifičnim jednadžbama i preferencijama rješavača. Vježbanje s različitim problemima može pomoći u razvoju intuicije o tome koju metodu primijeniti u različitim situacijama.