Back to the topics list

menyelesaikan persamaan linier dengan dua variabel

Menyelesaikan Persamaan Linier dengan Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk \(ax + by = c\) , dimana \(x\) dan \(y\) adalah variabel, \(a\) , \(b\) , dan \(c\) adalah konstanta, dan \(a\) dan \(b\) keduanya bukan nol. Persamaan ini adalah dasar aljabar dan menyediakan cara untuk mencari nilai \(x\) dan \(y\) yang menjadikan persamaan tersebut benar.

Memahami Persamaan Linier

Persamaan linier \(ax + by = c\) menyatakan garis lurus jika digambarkan pada bidang koordinat. Konstanta \(a\) dan \(b\) menentukan kemiringan dan posisi garis, sedangkan \(c\) berkaitan dengan letak garis pada grafik. Tujuan menyelesaikan persamaan linier dengan dua variabel adalah untuk mencari nilai spesifik dari \(x\) dan \(y\) yang memenuhi persamaan tersebut.

Metode Penyelesaian Persamaan Linier

Ada tiga metode utama untuk menyelesaikan persamaan linear dengan dua variabel: grafis, substitusi, dan eliminasi. Setiap metode memberikan pendekatan berbeda untuk menemukan solusi.

Metode Grafis

Dalam metode grafis, kedua persamaan dalam suatu sistem digambarkan pada bidang koordinat yang sama. Titik perpotongan kedua garis menunjukkan solusi sistem, atau nilai spesifik \(x\) dan \(y\) yang memenuhi kedua persamaan.

• Langkah 1: Ubah setiap persamaan menjadi bentuk perpotongan kemiringan ( \(y = mx + b\) ).
• Langkah 2: Buat grafik setiap persamaan pada bidang koordinat yang sama.
• Langkah 3: Identifikasi titik persimpangan.
• Langkah 4: Interpretasikan titik potong sebagai solusi ( \(x\) , \(y\) ).

Metode Substitusi

Metode substitusi melibatkan penyelesaian salah satu persamaan untuk satu variabel dan kemudian mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke persamaan lainnya. Hal ini mereduksi sistem menjadi persamaan tunggal dengan satu variabel, yang dapat diselesaikan.

• Langkah 1: Selesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel dengan variabel lainnya.
• Langkah 2: Substitusikan ekspresi dari Langkah 1 ke dalam persamaan lainnya.
• Langkah 3: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel yang tersisa.
• Langkah 4: Substitusikan kembali solusi tersebut ke dalam salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi berfokus pada penjumlahan atau pengurangan persamaan untuk menghilangkan salah satu variabel, sehingga memungkinkan untuk menyelesaikan variabel yang tersisa.

• Langkah 1: Jika perlu, kalikan salah satu atau kedua persamaan dengan konstanta untuk membuat koefisien salah satu variabel berlawanan.
• Langkah 2: Tambahkan atau kurangi persamaan untuk menghilangkan satu variabel.
• Langkah 3: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel yang tersisa.
• Langkah 4: Substitusikan kembali solusi tersebut ke dalam salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.

Contoh

Perhatikan sistem persamaan:

\(3x + 4y = 10\)

\(2x - y = 1\)

Penyelesaian Menggunakan Metode Substitusi

• Selesaikan persamaan kedua untuk \(y\) : \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) .
• Substitusikan \(y = 2x - 1\) ke dalam persamaan pertama: \(3x + 4(2x - 1) = 10\) .
• Sederhanakan dan selesaikan \(x\) : \(3x + 8x - 4 = 10 \Rightarrow 11x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{11}\) .
• Substitusikan \(x = \frac{14}{11}\) ke dalam \(y = 2x - 1\) : \(y = 2(\frac{14}{11}) - 1 = \frac{17}{11}\) .

Solusinya adalah \(x = \frac{14}{11}\) dan \(y = \frac{17}{11}\) .

Konsep Utama

Memahami dan menerapkan metode penyelesaian persamaan linier dua variabel ini memerlukan pemahaman tentang teknik manipulasi aljabar, seperti menyelesaikan persamaan untuk variabel tertentu, membuat grafik persamaan linier, dan memahami konsep kemiringan dan titik potong. Pilihan metode sering kali bergantung pada persamaan spesifik dan preferensi pemecah. Berlatih dengan berbagai soal dapat membantu mengembangkan intuisi tentang metode mana yang akan diterapkan dalam situasi berbeda.