Back to the topics list

rozwiązywanie równania liniowego z dwiema zmiennymi

Rozwiązywanie równań liniowych z dwiema zmiennymi

Równanie liniowe z dwiema zmiennymi to równanie, które można zapisać w postaci \(ax + by = c\) , gdzie \(x\) i \(y\) są zmiennymi, \(a\) , \(b\) i \(c\) są stałymi, a \(a\) i \(b\) nie są zerami. Równania te stanowią podstawę algebry i umożliwiają znalezienie wartości \(x\) i \(y\) które sprawiają, że równanie jest prawdziwe.

Zrozumienie równania liniowego

Równanie liniowe \(ax + by = c\) przedstawia linię prostą wykreśloną na płaszczyźnie współrzędnych. Stałe \(a\) i \(b\) określają nachylenie i położenie linii, natomiast \(c\) odnoszą się do położenia linii na wykresie. Celem rozwiązania równania liniowego z dwiema zmiennymi jest znalezienie konkretnych wartości \(x\) i \(y\) które spełniają równanie.

Metody rozwiązywania równań liniowych

Istnieją trzy podstawowe metody rozwiązywania równań liniowych z dwiema zmiennymi: graficzna, podstawienie i eliminacja. Każda metoda zapewnia inne podejście do znalezienia rozwiązania.

Metoda graficzna

W metodzie graficznej oba równania układu są wykreślane na tej samej płaszczyźnie współrzędnych. Punkt przecięcia obu linii reprezentuje rozwiązanie układu lub konkretne wartości \(x\) i \(y\) które spełniają oba równania.

• Krok 1: Przekształć każde równanie do postaci przecięcia z nachyleniem ( \(y = mx + b\) ).
• Krok 2: Narysuj każde równanie na tej samej płaszczyźnie współrzędnych.
• Krok 3: Zidentyfikuj punkt przecięcia.
• Krok 4: Zinterpretuj punkt przecięcia jako rozwiązanie ( \(x\) , \(y\) ).

Metoda substytucji

Metoda podstawienia polega na rozwiązaniu jednego z równań dla jednej zmiennej, a następnie podstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania. Sprowadza to system do pojedynczego równania z jedną zmienną, które można rozwiązać.

• Krok 1: Rozwiąż jedno z równań dla jednej zmiennej w odniesieniu do drugiej.
• Krok 2: Zastąp wyrażenie z kroku 1 innym równaniem.
• Krok 3: Rozwiąż otrzymane równanie dla pozostałej zmiennej.
• Krok 4: Zastąp rozwiązanie z powrotem jednym z pierwotnych równań, aby znaleźć wartość drugiej zmiennej.

Metoda eliminacji

Metoda eliminacji skupia się na dodawaniu lub odejmowaniu równań w celu wyeliminowania jednej ze zmiennych, umożliwiając rozwiązanie dla pozostałej zmiennej.

• Krok 1: Jeśli to konieczne, pomnóż jedno lub oba równania przez stałą, aby współczynniki jednej ze zmiennych były przeciwne.
• Krok 2: Dodaj lub odejmij równania, aby wyeliminować jedną zmienną.
• Krok 3: Rozwiąż otrzymane równanie dla pozostałej zmiennej.
• Krok 4: Zastąp rozwiązanie z powrotem jednym z pierwotnych równań, aby znaleźć wartość drugiej zmiennej.

Przykład

Rozważmy układ równań:

\(3x + 4y = 10\)

\(2x - y = 1\)

Rozwiązywanie metodą podstawienia

• Rozwiąż drugie równanie dla \(y\) : \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) .
• Podstaw \(y = 2x - 1\) do pierwszego równania: \(3x + 4(2x - 1) = 10\) .
• Uprość i rozwiąż równanie \(x\) : \(3x + 8x - 4 = 10 \Rightarrow 11x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{11}\) .
• Zastąp \(x = \frac{14}{11}\) w \(y = 2x - 1\) : \(y = 2(\frac{14}{11}) - 1 = \frac{17}{11}\) .

Rozwiązaniem jest \(x = \frac{14}{11}\) i \(y = \frac{17}{11}\) .

Kluczowe idee

Zrozumienie i zastosowanie tych metod rozwiązywania równań liniowych z dwiema zmiennymi wymaga znajomości technik manipulacji algebraicznych, takich jak rozwiązywanie równań dla konkretnej zmiennej, tworzenie wykresów równań liniowych oraz zrozumienie pojęć nachylenia i wyrazu wolnego. Wybór metody często zależy od konkretnych równań i preferencji osoby rozwiązującej. Praktyka z różnymi problemami może pomóc w wyrobieniu intuicji w zakresie metody, którą należy zastosować w różnych sytuacjach.