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resolvendo equação linear com duas variáveis

Resolvendo Equações Lineares com Duas Variáveis

Uma equação linear com duas variáveis ​​​​é uma equação que pode ser escrita na forma \(ax + by = c\) , onde \(x\) e \(y\) são variáveis, \(a\) , \(b\) e \(c\) são constantes e \(a\) e \(b\) não são ambos zero. Essas equações são a base da álgebra e fornecem uma maneira de encontrar os valores de \(x\) e \(y\) que tornam a equação verdadeira.

Compreendendo a equação linear

A equação linear \(ax + by = c\) representa uma linha reta quando representada graficamente em um plano de coordenadas. As constantes \(a\) e \(b\) determinam a inclinação e a posição da reta, enquanto \(c\) se refere à localização da reta no gráfico. O objetivo de resolver uma equação linear com duas variáveis ​​é encontrar os valores específicos de \(x\) e \(y\) que preenchem a equação.

Métodos para resolver equações lineares

Existem três métodos principais para resolver equações lineares com duas variáveis: gráfico, substituição e eliminação. Cada método fornece uma abordagem diferente para encontrar a solução.

Método Gráfico

No método gráfico, ambas as equações de um sistema são representadas graficamente no mesmo plano de coordenadas. O ponto onde as duas linhas se cruzam representa a solução do sistema, ou os valores específicos de \(x\) e \(y\) que satisfazem ambas as equações.

• Etapa 1: Converta cada equação na forma de interceptação de inclinação ( \(y = mx + b\) ).
• Etapa 2: represente graficamente cada equação no mesmo plano de coordenadas.
• Etapa 3: Identifique o ponto de intersecção.
• Etapa 4: interprete o ponto de intersecção como a solução ( \(x\) , \(y\) ).

Método de Substituição

O método de substituição envolve resolver uma das equações para uma variável e depois substituir a expressão resultante na outra equação. Isto reduz o sistema a uma única equação com uma variável, que pode ser resolvida.

• Etapa 1: Resolva uma das equações para uma variável em termos da outra.
• Etapa 2: Substitua a expressão da Etapa 1 na outra equação.
• Etapa 3: Resolva a equação resultante para a variável restante.
• Passo 4: Substitua a solução de volta em uma das equações originais para encontrar o valor da outra variável.

Método de Eliminação

O método de eliminação concentra-se em somar ou subtrair as equações para eliminar uma das variáveis, possibilitando a resolução da variável restante.

• Passo 1: Se necessário, multiplique uma ou ambas as equações por uma constante para tornar os coeficientes de uma das variáveis ​​​​opostos.
• Etapa 2: adicione ou subtraia as equações para eliminar uma variável.
• Etapa 3: Resolva a equação resultante para a variável restante.
• Passo 4: Substitua a solução de volta em uma das equações originais para encontrar o valor da outra variável.

Exemplo

Considere o sistema de equações:

\(3x + 4y = 10\)

\(2x - y = 1\)

Resolvendo Usando o Método de Substituição

• Resolva a segunda equação para \(y\) : \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) .
• Substitua \(y = 2x - 1\) na primeira equação: \(3x + 4(2x - 1) = 10\) .
• Simplifique e resolva para \(x\) : \(3x + 8x - 4 = 10 \Rightarrow 11x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{11}\) .
• Substitua \(x = \frac{14}{11}\) em \(y = 2x - 1\) : \(y = 2(\frac{14}{11}) - 1 = \frac{17}{11}\) .

A solução é \(x = \frac{14}{11}\) e \(y = \frac{17}{11}\) .

Conceitos chave

Compreender e aplicar esses métodos para resolver equações lineares com duas variáveis ​​requer familiaridade com técnicas de manipulação algébrica, como resolver equações para uma variável específica, representar graficamente equações lineares e compreender os conceitos de inclinação e interceptação. A escolha do método geralmente depende das equações específicas e da preferência do solucionador. A prática com vários problemas pode ajudar a desenvolver a intuição sobre qual método aplicar em diferentes situações.