Back to the topics list

lösa linjär ekvation med två variabler

Lösa linjära ekvationer med två variabler

En linjär ekvation med två variabler är en ekvation som kan skrivas på formen \(ax + by = c\) , där \(x\) och \(y\) är variabler, \(a\) , \(b\) , och \(c\) är konstanter, och \(a\) och \(b\) är inte båda noll. Dessa ekvationer är grunden för algebra och ger ett sätt att hitta värdena för \(x\) och \(y\) som gör ekvationen sann.

Förstå den linjära ekvationen

Den linjära ekvationen \(ax + by = c\) representerar en rät linje när den ritas i ett koordinatplan. Konstanterna \(a\) och \(b\) bestämmer linjens lutning och position, medan \(c\) relaterar till linjens placering på grafen. Målet med att lösa en linjär ekvation med två variabler är att hitta de specifika värdena på \(x\) och \(y\) som uppfyller ekvationen.

Metoder för att lösa linjära ekvationer

Det finns tre primära metoder för att lösa linjära ekvationer med två variabler: grafisk, substitution och eliminering. Varje metod ger olika sätt att hitta lösningen.

Grafisk metod

I den grafiska metoden är båda ekvationerna i ett system ritade på samma koordinatplan. Punkten där de två linjerna skär varandra representerar lösningen till systemet, eller de specifika värdena för \(x\) och \(y\) som uppfyller båda ekvationerna.

• Steg 1: Konvertera varje ekvation till lutningsskärningsform ( \(y = mx + b\) ).
• Steg 2: Rita varje ekvation på samma koordinatplan.
• Steg 3: Identifiera skärningspunkten.
• Steg 4: Tolka skärningspunkten som lösningen ( \(x\) , \(y\) ).

Substitutionsmetod

Substitutionsmetoden går ut på att lösa en av ekvationerna för en variabel och sedan ersätta det resulterande uttrycket i den andra ekvationen. Detta reducerar systemet till en enda ekvation med en variabel som kan lösas.

• Steg 1: Lös en av ekvationerna för en variabel utifrån den andra.
• Steg 2: Ersätt uttrycket från steg 1 med den andra ekvationen.
• Steg 3: Lös den resulterande ekvationen för den återstående variabeln.
• Steg 4: Byt tillbaka lösningen i en av de ursprungliga ekvationerna för att hitta värdet på den andra variabeln.

Elimineringsmetod

Elimineringsmetoden fokuserar på att addera eller subtrahera ekvationerna för att eliminera en av variablerna, vilket gör det möjligt att lösa för den återstående variabeln.

• Steg 1: Om nödvändigt, multiplicera en eller båda ekvationerna med en konstant för att göra koefficienterna för en av variablerna motsatta.
• Steg 2: Addera eller subtrahera ekvationerna för att eliminera en variabel.
• Steg 3: Lös den resulterande ekvationen för den återstående variabeln.
• Steg 4: Byt tillbaka lösningen i en av de ursprungliga ekvationerna för att hitta värdet på den andra variabeln.

Exempel

Tänk på ekvationssystemet:

\(3x + 4y = 10\)

\(2x - y = 1\)

Lösning med hjälp av substitutionsmetoden

• Lös den andra ekvationen för \(y\) : \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) .
• Ersätt \(y = 2x - 1\) i den första ekvationen: \(3x + 4(2x - 1) = 10\) .
• Förenkla och lös för \(x\) : \(3x + 8x - 4 = 10 \Rightarrow 11x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{11}\) .
• Byt ut \(x = \frac{14}{11}\) i \(y = 2x - 1\) : \(y = 2(\frac{14}{11}) - 1 = \frac{17}{11}\) .

Lösningen är \(x = \frac{14}{11}\) och \(y = \frac{17}{11}\) .

Nyckelbegrepp

Att förstå och tillämpa dessa metoder för att lösa linjära ekvationer med två variabler kräver förtrogenhet med algebraiska manipulationstekniker, såsom att lösa ekvationer för en viss variabel, rita linjära ekvationer och förstå begreppen lutning och skärning. Valet av metod beror ofta på de specifika ekvationerna och lösarens preferenser. Övning med olika problem kan bidra till att utveckla intuition om vilken metod som ska tillämpas i olika situationer.