Les équations simultanées sont un ensemble d’équations comportant plusieurs variables qui sont toutes résolues ensemble. Les solutions de ces équations sont les valeurs qui satisfont simultanément toutes les équations de l’ensemble. Les équations simultanées constituent un élément fondamental de l'algèbre et trouvent des applications dans divers domaines, notamment la géométrie des coordonnées.
Pour résoudre des équations simultanées, il faut au moins autant d’équations qu’il y a de variables. Par exemple, pour résoudre deux variables, vous avez besoin d’au moins deux équations. Les méthodes couramment utilisées pour résoudre des équations simultanées comprennent les méthodes de substitution, d'élimination et graphiques.
Exemple 1 : Considérons deux équations :
\(2x + 3y = 5\) et \(x - y = 2\)
Pour résoudre ces équations simultanément, on peut utiliser la méthode de substitution ou d’élimination.
Méthode de substitution :
À partir de la deuxième équation, exprimez \(x\) en termes de \(y\) , \(x = y + 2\) . Remplacez \(x = y + 2\) dans la première équation.
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
Résolvez \(y\) , puis remplacez la valeur de \(y\) dans l'une des équations d'origine pour trouver \(x\) .
Méthode d'élimination :
Multipliez la deuxième équation par 3, puis ajoutez ou soustrayez l'une des équations de l'autre pour éliminer une variable. Résolvez la variable restante, puis remplacez-la pour trouver l'autre variable.
Exemple 2 : Résolvez graphiquement le système d’équations suivant :
\(y = 2x + 1\) et \(y = x - 2\)
Pour résoudre ces équations graphiquement, tracez les deux équations sur le même ensemble d’axes. Le point d’intersection des deux droites est la solution du système d’équations. Dans ce cas, en traçant les deux équations, nous constatons que les lignes se coupent en un point spécifique, déterminant les valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont les deux équations.
Les équations simultanées jouent un rôle essentiel dans la géométrie des coordonnées, en particulier dans la recherche de points d'intersection et la résolution de problèmes liés aux lignes, cercles et autres formes géométriques.
Par exemple, pour trouver le point d’intersection de deux droites donné par leurs équations, on peut résoudre les équations des droites simultanément. La solution donnera les coordonnées du point d’intersection des deux lignes.
Un système linéaire d'équations se compose uniquement d'équations linéaires. Lorsqu'il s'agit d'équations linéaires simultanées, la méthode graphique illustre que :
- Si les lignes se coupent en un seul point, il existe une solution unique au système.
- Si les droites sont parallèles (et distinctes), il n'y a pas de solution au système.
- Si les droites coïncident, il existe une infinité de solutions puisque tous les points d’une droite se trouvent sur l’autre droite.
Mathématiquement, ces scénarios correspondent au déterminant de la matrice des coefficients dans les systèmes d'équations linéaires. Un déterminant non nul indique une solution unique, tandis qu'un déterminant nul correspond à aucune solution ou à une infinité de solutions, selon que le système est cohérent ou incohérent.
Lorsqu'il s'agit d'équations simultanées incluant des équations non linéaires, telles que celles impliquant des carrés, des cubes ou d'autres non-linéarités, les solutions deviennent plus complexes. Graphiquement, les solutions sont les points d'intersection entre les courbes représentées par les équations.
Par exemple, résoudre le système d’équations donné par :
\(x^2 + y^2 = 25\) et \(x + y = 5\)
La première équation représente un cercle de rayon 5 centré à l'origine et la seconde représente une ligne droite. Les solutions de ce système sont les points où la ligne coupe le cercle.
La résolution d'équations simultanées, qu'elles soient linéaires ou non linéaires, est non seulement cruciale dans le domaine mathématique de l'algèbre, mais joue également un rôle important dans la géométrie des coordonnées et dans diverses applications pratiques. De la conception de systèmes d’ingénierie à l’analyse de modèles économiques, la capacité à résoudre des systèmes d’équations est une compétence fondamentale dans de nombreuses disciplines.
