Simultane jednadžbe su skup jednadžbi s više varijabli koje se sve zajedno rješavaju. Rješenja ovih jednadžbi su vrijednosti koje zadovoljavaju sve jednadžbe u skupu istovremeno. Simultane jednadžbe temeljni su dio algebre i nalaze primjenu u raznim područjima uključujući koordinatnu geometriju.
Za rješavanje simultanih jednadžbi potrebno vam je najmanje onoliko jednadžbi koliko ima varijabli. Na primjer, da biste riješili dvije varijable, potrebne su vam najmanje dvije jednadžbe. Metode koje se obično koriste za rješavanje simultanih jednadžbi uključuju metode supstitucije, eliminacije i grafičke metode.
Primjer 1: Razmotrimo dvije jednadžbe:
\(2x + 3y = 5\) i \(x - y = 2\)
Za istovremeno rješavanje ovih jednadžbi možemo koristiti metodu supstitucije ili eliminacije.
Metoda zamjene:
Iz druge jednadžbe izrazite \(x\) u smislu \(y\) , \(x = y + 2\) . Zamijenite \(x = y + 2\) u prvoj jednadžbi.
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
Riješite za \(y\) , zatim zamijenite vrijednost \(y\) u bilo kojoj od izvornih jednadžbi da biste pronašli \(x\) .
Metoda eliminacije:
Pomnožite drugu jednadžbu s 3, a zatim dodajte ili oduzmite jednu od jednadžbi od druge kako biste eliminirali jednu varijablu. Riješite preostalu varijablu, a zatim je zamijenite kako biste pronašli drugu varijablu.
Primjer 2: Grafički riješite sljedeći sustav jednadžbi:
\(y = 2x + 1\) i \(y = x - 2\)
Da biste grafički riješili ove jednadžbe, nacrtajte obje jednadžbe na isti skup osi. Točka u kojoj se dvije linije sijeku je rješenje sustava jednadžbi. U ovom slučaju, iscrtavanjem obje jednadžbe, nalazimo da se linije sijeku u određenoj točki, određujući vrijednosti \(x\) i \(y\) koje zadovoljavaju obje jednadžbe.
Simultane jednadžbe igraju vitalnu ulogu u koordinatnoj geometriji, osobito u pronalaženju točaka sjecišta, rješavanju problema vezanih uz linije, krugove i druge geometrijske oblike.
Na primjer, da bismo pronašli točku sjecišta dviju linija zadanih njihovim jednadžbama, možemo simultano riješiti jednadžbe linija. Rješenje će dati koordinate točke u kojoj se dvije linije sijeku.
Linearni sustav jednadžbi sastoji se samo od linearnih jednadžbi. Kada se radi o linearnim simultanim jednadžbama, grafička metoda ilustrira sljedeće:
- Ako se linije sijeku u jednoj točki, postoji jedno jedinstveno rješenje sustava.
- Ako su pravci paralelni (i različiti), nema rješenja sustava.
- Ako su pravci podudarni, rješenja je beskonačno mnogo jer sve točke na jednom pravcu leže na drugom pravcu.
Matematički, ovi scenariji odgovaraju determinanti matrice koeficijenata u sustavima linearnih jednadžbi. Determinanta različita od nule označava jedinstveno rješenje, dok determinanta nula odgovara nepostojanju rješenja ili beskonačno mnogo rješenja, ovisno o tome je li sustav konzistentan ili nekonzistentan.
Kada se radi o simultanim jednadžbama koje uključuju nelinearne jednadžbe, poput onih koje uključuju kvadrate, kocke ili druge nelinearnosti, rješenja postaju složenija. Grafički, rješenja su točke presjeka između krivulja predstavljenih jednadžbama.
Na primjer, rješavanje sustava jednadžbi koje daje:
\(x^2 + y^2 = 25\) i \(x + y = 5\)
Prva jednadžba predstavlja krug polumjera 5 sa središtem u ishodištu, a druga predstavlja ravnu liniju. Rješenja ovog sustava su točke u kojima pravac siječe kružnicu.
Rješavanje simultanih jednadžbi, bilo linearnih ili nelinearnih, nije ključno samo u matematičkom području algebre, već također igra značajnu ulogu u koordinatnoj geometriji i raznim praktičnim primjenama. Od projektiranja inženjerskih sustava do analize ekonomskih modela, sposobnost rješavanja sustava jednadžbi temeljna je vještina u mnogim disciplinama.
