連立方程式は、複数の変数を持つ方程式のセットであり、それらはすべて同時に解かれます。これらの方程式の解は、セット内のすべての方程式を同時に満たす値です。連立方程式は代数の基本的な部分であり、座標幾何学を含むさまざまな分野で応用されています。
連立方程式を解くには、少なくとも変数の数と同じ数の方程式が必要です。たとえば、2 つの変数を解くには、少なくとも 2 つの方程式が必要です。連立方程式を解くためによく使用される方法には、置換法、消去法、グラフィカル法などがあります。
例 1: 2 つの方程式を考えます。
\(2x + 3y = 5\)かつ\(x - y = 2\)
これらの方程式を同時に解くには、置換法または消去法を使用できます。
置換方法:
2番目の方程式から、 \(x\)を\(y\) 、 \(x = y + 2\)の観点から表します。 \(x = y + 2\)を最初の方程式に代入します。
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
\(y\)を解き、 \(y\)の値を元の方程式のいずれかに代入して\(x\)を求めます。
排除法:
2 番目の方程式に 3 を掛け、方程式の 1 つを他の方程式に加えるか、または減算して 1 つの変数を消去します。残りの変数について解き、それを代入して他の変数を見つけます。
例 2:次の連立方程式をグラフで解きます。
\(y = 2x + 1\)かつ\(y = x - 2\)
これらの方程式をグラフィカルに解くには、両方の方程式を同じ軸上にプロットします。2 本の線が交差する点が連立方程式の解です。この場合、両方の方程式をプロットすると、線が特定の点で交差していることがわかり、両方の方程式を満たす\(x\)と\(y\)の値が決定されます。
連立方程式は座標幾何学において、特に交点の検出や、直線、円、その他の幾何学的形状に関連する問題の解決において重要な役割を果たします。
たとえば、方程式によって与えられた 2 本の直線の交点を見つけるには、直線の方程式を同時に解くことができます。解は、2 本の直線が交差する点の座標を与えます。
線形連立方程式は線形方程式のみで構成されます。線形連立方程式を扱う場合、グラフィカル手法では次のことが示されます。
- 線が 1 点で交差する場合、システムには 1 つの一意の解が存在します。
- 線が平行（かつ異なる）である場合、システムの解は存在しません。
- 線が一致する場合、一方の線上のすべての点はもう一方の線上にあるため、解は無限に存在します。
数学的には、これらのシナリオは線形方程式のシステムにおける係数行列の行列式に対応します。行列式がゼロでない場合は唯一の解を示しますが、行列式がゼロの場合は、システムが一貫しているか一貫していないかに応じて、解がないか、または無限に多くの解があることを示します。
二乗方程式、三乗方程式、その他の非線形性を含む非線形方程式を含む同時方程式を扱う場合、解はより複雑になります。グラフで表すと、解は方程式によって表される曲線の交点になります。
たとえば、次に示す連立方程式を解きます。
\(x^2 + y^2 = 25\)かつ\(x + y = 5\)
最初の方程式は、原点を中心とする半径 5 の円を表し、2 番目の方程式は直線を表します。このシステムの解は、直線が円と交差する点です。
線形か非線形かを問わず、同時方程式を解くことは代数の数学の分野で極めて重要であるだけでなく、座標幾何学やさまざまな実用的応用においても重要な役割を果たします。工学システムの設計から経済モデルの分析まで、連立方程式を解く能力は多くの分野で基本的なスキルです。
