Симултаните равенки се збир на равенки со повеќе променливи кои се решени сите заедно. Решенијата на овие равенки се вредностите што ги задоволуваат сите равенки во множеството истовремено. Симултаните равенки се основен дел од алгебрата и наоѓаат примена во различни области, вклучително и координатна геометрија.
За да решите симултани равенки, потребни ви се најмалку онолку равенки колку што има променливи. На пример, за да решите две променливи, потребни ви се најмалку две равенки. Методите кои вообичаено се користат за решавање на симултани равенки вклучуваат замена, елиминација и графички методи.
Пример 1: Размислете за две равенки:
\(2x + 3y = 5\) и \(x - y = 2\)
За да ги решиме овие равенки истовремено, можеме да го користиме методот на замена или елиминација.
Начин на замена:
Од втората равенка, изразете \(x\) во однос на \(y\) , \(x = y + 2\) . Заменете го \(x = y + 2\) во првата равенка.
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
Решете го \(y\) , потоа заменете ја вредноста на \(y\) во која било од оригиналните равенки за да најдете \(x\) .
Метод на елиминација:
Помножете ја втората равенка со 3, а потоа додадете или одземете една од равенките од другата за да елиминирате една променлива. Решете ја преостанатата променлива, а потоа заменете ја за да ја пронајдете другата променлива.
Пример 2: Решете го следниов систем на равенки графички:
\(y = 2x + 1\) и \(y = x - 2\)
За да ги решите овие равенки графички, нацртајте ги двете равенки на ист сет на оски. Точката каде што се сечат двете прави е решението на системот на равенки. Во овој случај, со исцртување на двете равенки, откриваме дека правите се сечат во одредена точка, одредувајќи ги вредностите на \(x\) и \(y\) кои ги задоволуваат двете равенки.
Симултаните равенки играат витална улога во геометријата на координатите, особено во пронаоѓањето на точките на пресек, решавањето на проблемите поврзани со линии, кругови и други геометриски форми.
На пример, за да се најде точката на пресек на две прави дадени со нивните равенки, може да се решат равенките на правата истовремено. Решението ќе ги даде координатите на точката каде што се сечат двете прави.
Линеарен систем на равенки се состои само од линеарни равенки. Кога се работи за линеарни симултани равенки, графичкиот метод илустрира дека:
- Ако линиите се сечат во една точка, постои едно единствено решение за системот.
- Ако линиите се паралелни (и различни), нема решение за системот.
- Ако линиите се совпаѓаат, има бесконечно многу решенија бидејќи сите точки на едната права лежат на другата права.
Математички, овие сценарија одговараат на детерминантата на матрицата на коефициентот во системите на линеарни равенки. Ненулта детерминанта означува единствено решение, додека нултата детерминанта одговара на никакво решение или на бесконечно многу решенија, во зависност од тоа дали системот е конзистентен или неконзистентен.
Кога се работи за симултани равенки кои вклучуваат нелинеарни равенки, како што се оние што вклучуваат квадрати, коцки или друга нелинеарност, решенијата стануваат посложени. Графички, решенијата се точки на пресек помеѓу кривите претставени со равенките.
На пример, решавање на системот на равенки дадени со:
\(x^2 + y^2 = 25\) и \(x + y = 5\)
Првата равенка претставува круг со радиус од 5 центриран на почетокот, а втората претставува права линија. Решенијата на овој систем се точките каде што правата ја сече кружницата.
Решавањето на истовремени равенки, без разлика дали се линеарни или нелинеарни, не само што е клучно во математичкото поле на алгебрата, туку исто така игра значајна улога во геометријата на координатите и различните практични примени. Од дизајнирање инженерски системи до анализа на економски модели, способноста за решавање на системи на равенки е основна вештина во многу дисциплини.
