एकसाथ समीकरणहरू धेरै चरहरू भएका समीकरणहरूको सेट हो जुन सबै एकैसाथ हल गरिन्छ। यी समीकरणहरूको समाधान मानहरू हुन् जसले सेटमा सबै समीकरणहरू एकैसाथ पूरा गर्दछ। एकसाथ समीकरणहरू बीजगणितको आधारभूत भाग हुन् र समन्वय ज्यामिति सहित विभिन्न क्षेत्रहरूमा अनुप्रयोगहरू फेला पार्छन्।
एकसाथ समीकरणहरू समाधान गर्न, तपाईंलाई कम्तीमा धेरै समीकरणहरू चाहिन्छ जति चरहरू छन्। उदाहरण को लागी, दुई चर को लागी समाधान गर्न को लागी, तपाइँ कम्तिमा दुई समीकरणहरु को आवश्यकता छ। एकसाथ समीकरणहरू समाधान गर्न प्रयोग गरिने विधिहरूमा प्रतिस्थापन, उन्मूलन, र ग्राफिकल विधिहरू समावेश छन्।
उदाहरण १: दुई समीकरणहरू विचार गर्नुहोस्:
\(2x + 3y = 5\) र \(x - y = 2\)
यी समीकरणहरू एकैसाथ समाधान गर्न, हामी प्रतिस्थापन वा उन्मूलन विधि प्रयोग गर्न सक्छौं।
प्रतिस्थापन विधि:
दोस्रो समीकरणबाट, \(x\) लाई \(y\) , \(x = y + 2\) को सर्तमा व्यक्त गर्नुहोस्। पहिलो समीकरणमा \(x = y + 2\) प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
\(y\) को लागि समाधान गर्नुहोस्, त्यसपछि \(x\) फेला पार्न कुनै पनि मूल समीकरणमा \(y\) को मान बदल्नुहोस्।
उन्मूलन विधि:
दोस्रो समीकरणलाई ३ द्वारा गुणा गर्नुहोस्, र त्यसपछि एउटा चर हटाउनको लागि अर्कोबाट एउटा समीकरण थप्नुहोस् वा घटाउनुहोस्। बाँकी भेरिएबलको लागि समाधान गर्नुहोस्, त्यसपछि अर्को चर फेला पार्न फिर्ता प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
उदाहरण २: निम्न समीकरण प्रणालीलाई ग्राफिक रूपमा हल गर्नुहोस्:
\(y = 2x + 1\) र \(y = x - 2\)
यी समीकरणहरूलाई ग्राफिक रूपमा हल गर्नको लागि, दुवै समीकरणहरूलाई अक्षहरूको एउटै सेटमा प्लट गर्नुहोस्। दुई रेखाहरू मिल्ने बिन्दु समीकरण प्रणालीको समाधान हो। यस अवस्थामा, दुवै समीकरणहरू प्लट गरेर, हामीले रेखाहरू एक निश्चित बिन्दुमा काट्छौं, \(x\) र \(y\) को मानहरू निर्धारण गर्दै दुवै समीकरणहरूलाई सन्तुष्ट पार्छौं भनेर पत्ता लगाउँछौं।
एकसाथ समीकरणहरूले ज्यामितिको समन्वयमा महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छ, विशेष गरी प्रतिच्छेदन बिन्दुहरू फेला पार्न, रेखाहरू, वृत्तहरू, र अन्य ज्यामितीय आकारहरूसँग सम्बन्धित समस्याहरू समाधान गर्न।
उदाहरणका लागि, तिनीहरूको समीकरणहरूद्वारा दिइएको दुई रेखाहरूको प्रतिच्छेदको बिन्दु पत्ता लगाउन, रेखाहरूको समीकरणहरू एकै साथ समाधान गर्न सकिन्छ। समाधानले दुई रेखाहरू मिल्ने बिन्दुको समन्वयहरू दिनेछ।
समीकरणहरूको एक रेखीय प्रणाली केवल रेखीय समीकरणहरू समावेश गर्दछ। रैखिक एकसाथ समीकरणहरूसँग व्यवहार गर्दा, ग्राफिकल विधिले चित्रण गर्छ कि:
- यदि रेखाहरू एकल बिन्दुमा काट्छन् भने, त्यहाँ प्रणालीको एक अद्वितीय समाधान छ।
- यदि रेखाहरू समानान्तर (र फरक) छन् भने, त्यहाँ प्रणालीको कुनै समाधान छैन।
- यदि रेखाहरू संयोग हुन् भने, त्यहाँ असीम रूपमा धेरै समाधानहरू छन् किनकि एक रेखाका सबै बिन्दुहरू अर्को रेखामा छन्।
गणितीय रूपमा, यी परिदृश्यहरू रैखिक समीकरणहरूको प्रणालीहरूमा गुणांक म्याट्रिक्सको निर्धारकसँग मेल खान्छ। एक गैर-शून्य निर्धारकले एक अद्वितीय समाधानलाई संकेत गर्दछ, जबकि शून्य निर्धारकले कुनै समाधान वा असीम रूपमा धेरै समाधानहरूसँग मेल खान्छ, प्रणाली अनुरूप वा असंगत छ कि छैन भन्ने आधारमा।
वर्ग, क्यूब, वा अन्य ननलाइनरिटी जस्ता गैररेखीय समीकरणहरू समावेश गर्ने एकसाथ समीकरणहरूसँग व्यवहार गर्दा, समाधानहरू थप जटिल हुन्छन्। ग्राफिक रूपमा, समाधानहरू समीकरणहरूद्वारा प्रतिनिधित्व गरिएका वक्रहरू बीचको प्रतिच्छेदका बिन्दुहरू हुन्।
उदाहरण को लागी, द्वारा दिइएको समीकरण को प्रणाली को हल:
\(x^2 + y^2 = 25\) र \(x + y = 5\)
पहिलो समीकरणले मूलमा केन्द्रित 5 को त्रिज्या भएको वृत्तलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ, र दोस्रोले सीधा रेखालाई प्रतिनिधित्व गर्दछ। यस प्रणालीको समाधानहरू बिन्दुहरू हुन् जहाँ रेखाले सर्कललाई काट्छ।
एकसाथ समीकरणहरू समाधान गर्ने, चाहे रेखीय होस् वा ननलाइनर, बीजगणितको गणितीय क्षेत्रमा मात्र महत्त्वपूर्ण छैन तर समन्वय ज्यामिति र विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूमा पनि महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छ। ईन्जिनियरिङ् प्रणालीहरू डिजाइन गर्नदेखि आर्थिक मोडेलहरूको विश्लेषण गर्न, समीकरणहरूको प्रणालीहरू समाधान गर्ने क्षमता धेरै विषयहरूमा आधारभूत सीप हो।
