สมการพร้อมกันคือชุดของสมการที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งทั้งหมดแก้รวมกัน การแก้สมการเหล่านี้คือค่าที่เป็นไปตามสมการทั้งหมดในเซตพร้อมกัน สมการพร้อมกันเป็นส่วนพื้นฐานของพีชคณิตและค้นหาการประยุกต์ในสาขาต่างๆ รวมถึงเรขาคณิตพิกัด
ในการแก้สมการพร้อมกัน คุณต้องมีสมการอย่างน้อยเท่ากับจำนวนตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในการแก้โจทย์หาตัวแปรสองตัว คุณต้องมีสมการอย่างน้อยสองสมการ วิธีที่ใช้กันทั่วไปในการแก้สมการพร้อมกันได้แก่ วิธีแทนที่ การกำจัด และวิธีการแบบกราฟิก
ตัวอย่างที่ 1: พิจารณาสมการสองสมการ:
\(2x + 3y = 5\) และ \(x - y = 2\)
ในการแก้สมการเหล่านี้ไปพร้อมๆ กัน เราสามารถใช้วิธีทดแทนหรือกำจัดได้
วิธีการทดแทน:
จากสมการที่สอง แสดง \(x\) ในรูปของ \(y\) , \(x = y + 2\) แทน \(x = y + 2\) ในสมการแรก
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
แก้หา \(y\) จากนั้นแทนค่าของ \(y\) ในสมการดั้งเดิมใดๆ เพื่อหา \(x\)
วิธีการกำจัด:
คูณสมการที่สองด้วย 3 แล้วบวกหรือลบสมการตัวใดตัวหนึ่งจากอีกสมการหนึ่งเพื่อกำจัดตัวแปรตัวหนึ่ง แก้โจทย์ตัวแปรที่เหลือ แล้วแทนกลับเพื่อค้นหาตัวแปรอื่น
ตัวอย่างที่ 2: แก้ระบบสมการต่อไปนี้แบบกราฟิก:
\(y = 2x + 1\) และ \(y = x - 2\)
ในการแก้สมการเหล่านี้แบบกราฟิก ให้พล็อตทั้งสองสมการบนแกนชุดเดียวกัน จุดที่เส้นทั้งสองตัดกันคือคำตอบของระบบสมการ ในกรณีนี้ จากการวาดทั้งสองสมการ เราพบว่าเส้นตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง โดยกำหนดค่าของ \(x\) และ \(y\) ที่เป็นไปตามสมการทั้งสอง
สมการพร้อมกันมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตพิกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการค้นหาจุดตัด การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้น วงกลม และรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ
ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการ เราสามารถแก้สมการของเส้นตรงพร้อมกันได้ คำตอบจะให้พิกัดของจุดที่เส้นทั้งสองตัดกัน
ระบบสมการเชิงเส้นประกอบด้วยสมการเชิงเส้นเท่านั้น เมื่อต้องจัดการกับสมการเชิงเส้นพร้อมกัน วิธีกราฟิกจะแสดงให้เห็นว่า:
- หากเส้นตัดกันที่จุดเดียว จะมีวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะระบบวิธีหนึ่ง
- หากเส้นขนาน (และแตกต่าง) แสดงว่าระบบไม่มีวิธีแก้ไข
- ถ้าเส้นตรงตรงกัน มีวิธีแก้มากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากจุดทั้งหมดในบรรทัดหนึ่งอยู่บนอีกบรรทัดหนึ่ง
ในทางคณิตศาสตร์ สถานการณ์เหล่านี้สอดคล้องกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ในระบบสมการเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์บ่งชี้ถึงวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็น 0 จะสอดคล้องกับไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือมีจำนวนคำตอบมากมายอย่างไม่สิ้นสุด ขึ้นอยู่กับว่าระบบมีความสอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกัน
เมื่อต้องรับมือกับสมการที่เกิดขึ้นพร้อมๆ กันซึ่งรวมถึงสมการไม่เชิงเส้น เช่น สมการที่เกี่ยวข้องกับกำลังสอง ลูกบาศก์ หรือความไม่เชิงเส้นอื่นๆ คำตอบจะซับซ้อนมากขึ้น ในเชิงกราฟิก คำตอบคือจุดตัดกันระหว่างเส้นโค้งที่แสดงโดยสมการ
ตัวอย่างเช่น การแก้ระบบสมการที่กำหนดโดย:
\(x^2 + y^2 = 25\) และ \(x + y = 5\)
สมการแรกแทนวงกลมที่มีรัศมี 5 โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และสมการที่สองแทนเส้นตรง คำตอบของระบบนี้คือจุดที่เส้นตัดกับวงกลม
การแก้สมการพร้อมกัน ไม่ว่าจะเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ไม่เพียงมีความสำคัญในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ของพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตประสานงานและการใช้งานจริงต่างๆ อีกด้วย ตั้งแต่การออกแบบระบบวิศวกรรมไปจนถึงการวิเคราะห์แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ ความสามารถในการแก้ระบบสมการถือเป็นทักษะพื้นฐานในหลายสาขาวิชา
