بیک وقت مساوات متعدد متغیرات کے ساتھ مساوات کا ایک مجموعہ ہیں جو سب کو ایک ساتھ حل کیا جاتا ہے۔ ان مساواتوں کا حل وہ قدریں ہیں جو سیٹ میں موجود تمام مساوات کو بیک وقت پورا کرتی ہیں۔ بیک وقت مساوات الجبرا کا بنیادی حصہ ہیں اور کوآرڈینیٹ جیومیٹری سمیت مختلف شعبوں میں اطلاقات تلاش کرتے ہیں۔
بیک وقت مساوات کو حل کرنے کے لیے، آپ کو کم از کم اتنی ہی مساوات کی ضرورت ہے جتنی کہ متغیرات ہیں۔ مثال کے طور پر، دو متغیرات کو حل کرنے کے لیے، آپ کو کم از کم دو مساوات کی ضرورت ہے۔ بیک وقت مساوات کو حل کرنے کے لیے عام طور پر استعمال کیے جانے والے طریقوں میں متبادل، خاتمے، اور گرافیکل طریقے شامل ہیں۔
مثال 1: دو مساوات پر غور کریں:
\(2x + 3y = 5\) اور \(x - y = 2\)
ان مساواتوں کو ایک ساتھ حل کرنے کے لیے، ہم متبادل یا خاتمے کا طریقہ استعمال کر سکتے ہیں۔
متبادل طریقہ:
دوسری مساوات سے، \(x\) \(y\) ، \(x = y + 2\) کے لحاظ سے ظاہر کریں۔ پہلی مساوات میں \(x = y + 2\) کو تبدیل کریں۔
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
\(y\) کے لیے حل کریں، پھر \(x\) تلاش کرنے کے لیے کسی بھی اصل مساوات میں \(y\) کی قدر کو بدل دیں۔
خاتمے کا طریقہ:
دوسری مساوات کو 3 سے ضرب دیں، اور پھر ایک متغیر کو ختم کرنے کے لیے دوسری مساوات میں سے ایک کو شامل یا گھٹائیں۔ باقی متغیر کے لیے حل کریں، پھر دوسرے متغیر کو تلاش کرنے کے لیے واپس متبادل کریں۔
مثال 2: مساوات کے درج ذیل نظام کو تصویری طور پر حل کریں:
\(y = 2x + 1\) اور \(y = x - 2\)
ان مساواتوں کو گرافی طور پر حل کرنے کے لیے، دونوں مساوات کو ایک ہی محور پر پلاٹ کریں۔ وہ نقطہ جہاں دو لائنیں آپس میں ملتی ہیں مساوات کے نظام کا حل ہے۔ اس صورت میں، دونوں مساواتوں کو پلاٹ کرنے سے، ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ لکیریں ایک مخصوص نقطہ پر آپس میں ملتی ہیں، \(x\) اور \(y\) کی قدروں کا تعین کرتی ہیں جو دونوں مساواتوں کو پورا کرتی ہیں۔
بیک وقت مساوات جیومیٹری کوآرڈینیٹ کرنے میں اہم کردار ادا کرتی ہیں، خاص طور پر تقطیع کے پوائنٹس تلاش کرنے، لائنوں، دائروں اور دیگر ہندسی اشکال سے متعلق مسائل کو حل کرنے میں۔
مثال کے طور پر، ان کی مساواتوں کے ذریعہ دی گئی دو لائنوں کے تقاطع کا نقطہ تلاش کرنے کے لئے، کوئی بھی لائنوں کی مساوات کو ایک ساتھ حل کر سکتا ہے۔ حل اس نقطہ کے نقاط فراہم کرے گا جہاں دو لائنیں آپس میں ملتی ہیں۔
مساوات کا ایک لکیری نظام صرف لکیری مساوات پر مشتمل ہوتا ہے۔ لکیری بیک وقت مساوات کے ساتھ کام کرتے وقت، گرافیکل طریقہ یہ واضح کرتا ہے کہ:
- اگر لائنیں ایک نقطہ پر آپس میں ملتی ہیں، تو سسٹم کا ایک انوکھا حل ہے۔
- اگر لائنیں متوازی (اور الگ الگ) ہیں، تو نظام کا کوئی حل نہیں ہے۔
- اگر لکیریں اتفاقاً ہیں، تو بے شمار حل ہیں کیونکہ ایک لائن کے تمام پوائنٹس دوسری لائن پر ہوتے ہیں۔
ریاضیاتی طور پر، یہ منظرنامے لکیری مساوات کے نظام میں عددی میٹرکس کے تعین کنندہ سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک غیر صفر کا تعین کنندہ ایک منفرد حل کی نشاندہی کرتا ہے، جب کہ صفر کا تعین کنندہ کسی حل یا لامحدود بہت سے حلوں سے مطابقت رکھتا ہے، اس بات پر منحصر ہے کہ آیا نظام مستقل ہے یا متضاد۔
بیک وقت ان مساواتوں سے نمٹتے وقت جن میں نان لائنر مساوات شامل ہوتی ہیں، جیسے کہ مربع، کیوبز، یا دیگر نان لائنیرٹی، حل زیادہ پیچیدہ ہو جاتے ہیں۔ گرافیکل طور پر، حل مساوات کے ذریعہ ظاہر کردہ منحنی خطوط کے درمیان چوراہے کے پوائنٹس ہیں۔
مثال کے طور پر، مساوات کے نظام کو حل کرنا:
\(x^2 + y^2 = 25\) اور \(x + y = 5\)
پہلی مساوات ایک دائرے کی نمائندگی کرتی ہے جس کا رداس 5 ہے جس کا مرکز اصل میں ہے، اور دوسری سیدھی لکیر کی نمائندگی کرتی ہے۔ اس نظام کے حل وہ پوائنٹس ہیں جہاں لائن دائرے کو کاٹتی ہے۔
بیک وقت مساوات کو حل کرنا، خواہ لکیری ہو یا نان لائنر، نہ صرف الجبرا کے ریاضی کے میدان میں اہم ہے بلکہ جیومیٹری اور مختلف عملی استعمال میں بھی اہم کردار ادا کرتا ہے۔ انجینئرنگ سسٹم ڈیزائن کرنے سے لے کر معاشی ماڈلز کا تجزیہ کرنے تک، مساوات کے نظام کو حل کرنے کی صلاحیت بہت سے شعبوں میں ایک بنیادی مہارت ہے۔
