Bir vaqtning o'zida tenglamalar bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar to'plami bo'lib, barchasi birgalikda echiladi. Ushbu tenglamalarning yechimlari to'plamdagi barcha tenglamalarni bir vaqtning o'zida qanoatlantiradigan qiymatlardir. Bir vaqtning o'zida tenglamalar algebraning asosiy qismi bo'lib, turli sohalarda, shu jumladan koordinata geometriyasida qo'llanilishini topadi.
Bir vaqtning o'zida tenglamalarni echish uchun kamida qancha o'zgaruvchi bo'lsa, shuncha tenglama kerak. Masalan, ikkita o'zgaruvchini hal qilish uchun sizga kamida ikkita tenglama kerak bo'ladi. Bir vaqtning o'zida tenglamalarni echishda keng tarqalgan usullarga almashtirish, yo'q qilish va grafik usullar kiradi.
1-misol: Ikki tenglamani ko'rib chiqing:
\(2x + 3y = 5\) va \(x - y = 2\)
Ushbu tenglamalarni bir vaqtning o'zida hal qilish uchun biz almashtirish yoki yo'q qilish usulidan foydalanishimiz mumkin.
O'zgartirish usuli:
Ikkinchi tenglamadan \(x\) ni \(y\) , \(x = y + 2\) shaklida ifodalang. Birinchi tenglamada \(x = y + 2\) o'rniga qo'ying.
\(2(y + 2) + 3y = 5\)
\(y\) ni yeching, so'ngra \(x\) topish uchun dastlabki tenglamalardan birida \(y\) qiymatini almashtiring.
Yo'q qilish usuli:
Ikkinchi tenglamani 3 ga ko'paytiring, so'ngra bitta o'zgaruvchini yo'q qilish uchun tenglamalardan birini boshqasiga qo'shing yoki ayiring. Qolgan o'zgaruvchini yeching, so'ngra boshqa o'zgaruvchini topish uchun uni almashtiring.
2-misol: Quyidagi tenglamalar tizimini grafik usulda yeching:
\(y = 2x + 1\) va \(y = x - 2\)
Bu tenglamalarni grafik usulda yechish uchun ikkala tenglamani bir xil o‘qlar to‘plamiga chizing. Ikki chiziqning kesishgan nuqtasi tenglamalar sistemasining yechimi hisoblanadi. Bunda ikkala tenglamani chizib, chiziqlar ma’lum bir nuqtada kesishishini aniqlaymiz, har ikkala tenglamani qanoatlantiradigan \(x\) va \(y\) qiymatlarini aniqlaymiz.
Sinxron tenglamalar koordinatalar geometriyasida, xususan, kesishish nuqtalarini topishda, chiziqlar, doiralar va boshqa geometrik shakllar bilan bog‘liq masalalarni yechishda muhim rol o‘ynaydi.
Masalan, ularning tenglamalari bilan berilgan ikkita chiziqning kesishish nuqtasini topish uchun bir vaqtning o'zida chiziqlar tenglamalarini echish mumkin. Yechim ikkita chiziq kesishgan nuqtaning koordinatalarini beradi.
Chiziqli tenglamalar tizimi faqat chiziqli tenglamalardan iborat. Chiziqli bir vaqtda tenglamalar bilan ishlashda grafik usul quyidagilarni ko'rsatadi:
- Agar chiziqlar bir nuqtada kesishsa, tizimning yagona yagona yechimi mavjud.
- Agar chiziqlar parallel (va aniq) bo'lsa, tizimning echimi yo'q.
- Agar chiziqlar bir-biriga mos kelsa, cheksiz ko'p echimlar mavjud, chunki bir chiziqning barcha nuqtalari boshqa chiziqda yotadi.
Matematik jihatdan bu stsenariylar chiziqli tenglamalar sistemasidagi koeffitsient matritsasining determinantiga mos keladi. Nolga teng bo'lmagan determinant yagona yechimni ko'rsatadi, nol determinant esa tizimning izchil yoki mos kelmasligiga qarab, hech qanday yechimga yoki cheksiz ko'p echimlarga mos keladi.
Kvadratlar, kublar yoki boshqa nochiziqliliklarni o'z ichiga olgan chiziqli bo'lmagan tenglamalarni o'z ichiga olgan bir vaqtda tenglamalar bilan ishlashda echimlar murakkablashadi. Grafik jihatdan yechimlar tenglamalar bilan ifodalangan egri chiziqlar orasidagi kesishish nuqtalaridir.
Masalan, berilgan tenglamalar tizimini yechish:
\(x^2 + y^2 = 25\) va \(x + y = 5\)
Birinchi tenglama radiusi 5 ga teng bo'lgan aylana koordinatasini ko'rsatadi, ikkinchisi esa to'g'ri chiziqni ifodalaydi. Bu sistemaning yechimlari chiziqning aylana bilan kesishgan nuqtalaridir.
Bir vaqtning o'zida chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echish nafaqat algebraning matematik sohasida hal qiluvchi ahamiyatga ega, balki koordinatalar geometriyasi va turli amaliy qo'llanmalarda ham muhim rol o'ynaydi. Muhandislik tizimlarini loyihalashdan tortib iqtisodiy modellarni tahlil qilishgacha tenglamalar tizimini yechish qobiliyati ko'plab fanlarning asosiy mahoratidir.
