سوف تتعلم:
في الرياضيات، المجموعة هي مجموعة محددة جيدًا من الكائنات المتميزة، أو بعبارة أخرى، هي مجرد مجموعة من الأشياء التي لها خاصية معينة مشتركة. على سبيل المثال، الأرقام 1، 3، 6، 10 هي كائنات مميزة عند النظر إليها بشكل منفصل، ولكن عندما يتم النظر إليها بشكل جماعي فإنها تشكل مجموعة واحدة من الحجم 4، مكتوبة كـ {1،3،6،10}. بعض الأمثلة الأخرى:
تسمى الكائنات المستخدمة لتكوين مجموعة عناصر أو أعضاء مجموعة. يتم تعريف المجموعة من خلال وصف محتوياتها أو إدراج عناصر المجموعة بين قوسين متعرجين حيث يتم فصل كل عنصر بفاصلة (،).
إذا كان A عبارة عن مجموعة من الألوان: الأخضر والأزرق والأصفر والأحمر
المجموعة أ = {أخضر، أزرق، أصفر، أحمر}
- نستخدم حرفًا كبيرًا لتمثيل المجموعة (يشار إليها هنا بالحرف A).
- عناصر المجموعة أ هي الأخضر والأزرق والأصفر والأحمر.
- اللون الأخضر "ينتمي" إلى المجموعة A، ويشار إليه بـ \(\textrm{أخضر} \in A\) .
- اللون الأسود "لا ينتمي" إلى المجموعة A، ويشار إليه بـ \(\textrm{أسود} \notin A\) .
- ترتيب العناصر في المجموعة ليس مهما. يمكننا أن نكتب A = {أزرق، أصفر، أخضر، أحمر}
المجموعة التي لا تحتوي على عناصر، { } تسمى مجموعة فارغة ويشار إليها بـ ø.
لنأخذ مجموعة أخرى B = {أصفر، أخضر، أحمر}. لاحظ أن B لديه كل الألوان التي هي عناصر المجموعة A. لذلك نقول B كمجموعة فرعية من A ونكتب كـ \(B \subset A\) .
تمثيل مجموعة
يمكن تمثيل المجموعة بطرق مختلفة. 3 طرق شائعة مستخدمة هي:
لنأخذ مثالاً ونحدد المجموعة وفقًا لهذه الأشكال الثلاثة:
نموذج البيان : تم تقديم وصف محدد جيدًا لعناصر المجموعة. مثال: مجموعة من الأعداد الطبيعية أقل من 6
نموذج القائمة : يتم إدراج العناصر بين قوسين {} ويتم فصلها بفواصل. المثال أعلاه في صيغة التحميص هو: N = {1, 2, 3, 4, 5 }
نموذج منشئ المجموعة : يتم وصف المجموعة بواسطة خاصية يجب أن يستوفيها أعضاؤها. N = { x : x عدد طبيعي أقل من 6}
مجموعات متساوية : يقال أن مجموعتين متساويتين إذا كان لهما نفس العناصر. على سبيل المثال A = {1، 3، 4، 6} وB = {3، 4، 1، 6} هي مجموعات متساوية.
حجم المجموعة: يُعرف حجم المجموعة بالرقم الأساسي، ويُشار إليه بالرمز |A| (أ هي مجموعة). مثال: A = {أزرق، أصفر، أخضر، أحمر}، أصل المجموعة A هو 4، أي
\(|A| = 4\)
يمكن أن يكون حجم المجموعة محدودًا أو لا نهائيًا. تسمى المجموعة التي تحتوي على عدد محدود من العناصر مجموعة منتهية . مثل {1، 2، 3، 4، 5} هي مجموعة منتهية أصلها 5. المجموعة التي تحتوي على عناصر غير معدودة هي المجموعة اللانهائية . على سبيل المثال، مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة هي مجموعة لا نهائية. المجموعة اللانهائية لها تمثيل مختلف قليلاً عن المجموعة المحدودة. على سبيل المثال: مجموعة جميع الأعداد الصحيحة هي مجموعة لا نهائية ويتم تمثيلها على النحو التالي: W = {1, 2, 3, 4, ... } هنا ثلاث نقاط تعني "يستمر إلى الأبد".
الرموز المستخدمة لأنواع الأرقام:
الأعداد الطبيعية: N، الأعداد الصحيحة: W، الأعداد الصحيحة: Z، الأعداد النسبية: Q، الأعداد الحقيقية: R،
