Du wirst es lernen:
In der Mathematik ist eine Menge eine genau definierte Sammlung unterschiedlicher Objekte oder, mit anderen Worten, einfach eine Gruppe von Dingen mit einer bestimmten gemeinsamen Eigenschaft. Beispielsweise sind die Zahlen 1, 3, 6, 10 unterschiedliche Objekte, wenn sie einzeln betrachtet werden, aber wenn sie gemeinsam betrachtet werden, bilden sie eine einzelne Menge der Größe 4, geschrieben als {1,3,6,10}. Noch ein paar Beispiele:
Objekte, die zur Bildung einer Menge verwendet werden, werden als Elemente oder Mitglieder einer Menge bezeichnet. Eine Menge wird definiert, indem der Inhalt beschrieben oder die Elemente der Menge in geschweiften Klammern aufgelistet werden, wobei jedes Element durch ein Komma (,) getrennt wird.
Wenn A eine Reihe von Farben ist: Grün, Blau, Gelb und Rot, dann
setze A = {Grün, Blau, Gelb, Rot}
- Wir verwenden einen Großbuchstaben, um eine Menge darzustellen (hier wird er als A bezeichnet).
- Elemente der Menge A sind Grün, Blau, Gelb und Rot.
- Die Farbe Grün „gehört“ zur Menge A, diese wird als \(\textrm{Grün} \in A\) bezeichnet.
- Farbe Schwarz ‚gehört‘ nicht zur Menge A, diese wird als \(\textrm{Schwarz} \notin A\) bezeichnet.
- Die Reihenfolge der Elemente in der Menge ist nicht wichtig. Wir können A = {Blau, Gelb, Grün, Rot} schreiben
Eine Menge, die keine Elemente enthält, { }, wird als leere Menge bezeichnet und mit ø bezeichnet.
Nehmen wir eine weitere Menge B = {Gelb, Grün, Rot}. Beachten Sie, dass B alle Farben hat, die Elemente der Menge A sind. Daher sagen wir B als Teilmenge von A und schreiben als \(B \subset A\) .
Darstellung einer Menge
Eine Menge kann durch verschiedene Methoden dargestellt werden. 3 gängige Methoden sind:
Nehmen wir ein Beispiel und definieren die Menge gemäß diesen drei Formen:
Aussageform : Es wird eine klar definierte Beschreibung der Elemente der Menge gegeben. Beispiel: Menge natürlicher Zahlen kleiner als 6
Dienstplanform : Elemente werden in Klammern {} aufgeführt und durch Kommas getrennt. Das obige Beispiel in Rösterform ist: N = {1, 2, 3, 4, 5 }
Set Builder-Form : Set wird durch eine Eigenschaft beschrieben, die sein Mitglied erfüllen muss. N = { x : x ist eine natürliche Zahl kleiner als 6}
Gleiche Mengen : Zwei Mengen gelten als gleich, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Beispielsweise sind A = {1, 3, 4, 6} und B = {3, 4, 1, 6} gleiche Mengen.
Größe einer Menge: Die Größe einer Menge wird als Kardinalitätszahl bezeichnet und mit |A| bezeichnet (A ist eine Menge). Beispiel: A = {Blau, Gelb, Grün, Rot}, die Kardinalität der Menge A ist 4, d. h
\(|A| = 4\)
Die Größe einer Menge kann endlich oder unendlich sein. Eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen wird als endliche Menge bezeichnet. {1, 2, 3, 4, 5} ist eine endliche Menge mit einer Kardinalität von 5. Die Menge mit unzähligen Elementen ist die unendliche Menge. Beispielsweise ist eine Menge aller ganzen Zahlen eine unendliche Menge. Die unendliche Menge hat kaum andere Darstellungen als die endliche Menge. Zum Beispiel: Die Menge aller ganzen Zahlen ist eine unendliche Menge und wird dargestellt als: W = {1, 2, 3, 4, ... } Hier bedeuten drei Punkte „dauert ewig“.
Für Zahlentypen verwendete Symbole:
Natürliche Zahlen: N, Ganze Zahlen: W, Ganze Zahlen: Z, Rationale Zahlen: Q, Reelle Zahlen: R,
